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Die Grundbegriffe. 169
von einander angiebt. Eine nur einseitig begrenzte Gerade heisst auch ein
Strahl, eine nach beiden Richtungen unbegrenzte wird eine Gerade schlechthin
genannt. Im Folgenden ist daher, wo nicht ausdrücklich das Gegentheil bemerkt
wird, unter einer Geraden stets eine solche von unbegrenzter Ausdehnung nach
beiden Richtungen zu verstehen.
8 3.
Da durch Angabe eines zweiten Punktes als des Zielpunktes zu einem
beweglich gedachten ersten Punkt die Richtung des letztern bestimmt ist, so
genügt die Angabe der beiden Punkte in der betreffenden Aufeinanderfolge zur
Bezeichnung einer Richtung. Wir unterscheiden also die Richtung 45 (d. i. von
A nach B) von der ihr entgegengesetzten BA.
Durch einen Punkt und seine unverändert bleibende Richtung ist auch der
Weg desselben, d. h. die entsprechende Gerade, der Lage nach bestimmt.
Daher lässt sich durch zwei gegebene Punkte stets eine und nur eine einzige
Gerade legen, oder durch zwei Punkte einer Geraden ist die Lage derselben
bestimmt. Die Länge der Geraden dagegen ist abhängig von der Grösse der
Bewegung des beschreibenden Punktes. Sind jene zwei Punkte auch die End-
punkte der Geraden, so bestimmen sie die Lage und Länge derselben zugleich.
Soll bei der Bezeichnung der Linie auch die Richtung angegeben werden, in
welcher sie beschrieben gedacht wird, so ist die Aufeinanderfolge der beiden
Punkte, wie oben angegeben, zu berücksichtigen. Mit Hilfe dieser Unterscheidung
der beiden entgegengesetzten Richtungen AB und BA einer Geraden kann nun
auch die gerade Linie zur sichtbaren Darstellung einer Richtung benutzt werden.
Aus dem Vorstehenden ergiebt sich noch, dass zwei gerade Linien, welche
durch dieselben zwei Punkte gezogen werden, ihrer ganzen Länge nach auf ein-
ander fallen, oder mit anderen Worten, einander decken. Zwei Gerade, welche
theilweise auf einander liegen, fallen also ebenfalls ihrer ganzen unendlichen Er-
streckung nach auf einander. Jeder Theil einer Geraden kann längs derselben
verschoben gedacht werden, so dass er stets mit einem andern Theil derselben
in Deckung befindlich ist.
Von einem jeden Punkte im Raume aus giebt es unendlich viele verschiedene
Richtungen; durch einen Punkt lassen sich daher auch unendlich viele Gerade
ziehen. Aendert ein bewegter Punkt fortwährend seine Richtung, ist also seine
Bewegung in jedem Moment eine fortschreitende und eine drehende zugleich, so
beschreibt derselbe eine krumme Linie. Eine solche Linie, auch eine Curve
genannt, ist also in keinem ihrer Theile gerad. Eine Linie; welche aus Geraden
von verschiedenen Richtungen besteht, heisst eine gebrochene; eine Lime,
welche aus geraden und krummen zusammengesetzt ist, heisst eine gemischte.
8 4.
Wie ein bewegter Punkt eine Linie, so beschreibt eine aus ihrer Lage her-
austretende Linie eine Flüche. Ist die beschreibende Linie eine Gerade, so
heisst die Flüche eine geradlinige oder eine Regelflüche. Durch jeden Punkt
einer solchen lässt sich daher eine Gerade ziehen, welche ihrer ganzen Länge
nach in die Fläche fällt.
Denkt man sich zu einer gegebenen Fläche eine zweite, welche vollständig
mit ihr zusammenfällt, und sodann die eine dieser Flächen so umgewendet, dass
die entgegengesetzten Flächenseiten beider einander zugekehrt sind, so kann im
Allgemeinen nicht verlangt werden, dass die beiden Flächen auch in dieser