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3. Vom Messen und dem Flächeninhalt geradliniger Figuren. 263 
Ein Dreieck lässt sich am einfachsten in gleiche Theile theilen, wenn man 
die Theilungslinien von einem Eckpunkt ausgehen lässt. Man hat dann nur 
nöthig, die diesem Punkte gegenüberliegende Seite in die verlangte Anzahl gleicher 
Theile zu theilen, und die Theilpunkte mit jenem Eckpunkt zu verbinden, denn 
die einzelnen Theile sind dann Dreiecke mit gleichen Grundlinien und derselben 
Höhe. Auch wenn die Theile des gegebenen Dreiecks nicht gleich gross sein, 
sondern in irgend einem andern vorgeschriebenen Verhältniss zu einander stehen 
sollen, ist es am einfachsten, eine Seite in diesem Verhältniss zu theilen und die 
Theilpunkte mit dem gegenüberliegenden Eckpunkt zu verbinden. Die Richtig- 
keit dieser allgemeineren Construction folgt daraus, dass Dreiecke mit derselben 
Höhe sich wie ihre Grundlinien verhalten. 
Soll ein Dreieck durch Linien getheilt werden, welche nicht von einem Eck- 
punkt ausgehen, sondern für deren Lagen andere Bedingungen gestellt sind, so 
kann man zuerst die Theilung in dem verlangten Verhältniss durch Linien der 
erstern Art vornehmen und dann die Theile in andere verwandeln, durch welche 
auch jenen Bedingungen genügt wird. Ist z. B. auf einer Seite AB des Dreiecks 
ein Punkt P gegeben, durch welchen sámmt- 
liche Theilungslinien gehen sollen, und theilt 
man das Dreieck zunüchst durch die vom 
gegenüberliegenden Eckpunkt C ausgehen- 
den Geraden CD, CE in Theile, welche 
in den verlangten Grössenverhältnissen stehen, 
so hat man nur noch C mit P zu verbinden, 
durch Z und D die Parallelen zu CP zu 
construiren, welche BC bezüglich in F und 
G schneiden mógen, und schliesslich PX und PG als die verlangten Theilungs- 
linien zu ziehen. Es ist nämlich die Fläche APFC gleich AEC, da beide das 
Stück ACP gemeinsam haben und die Dreiecke 
CEP und CEP auf derselben Grundlinie CP 
und zwischen denselben Parallelen CP und EF 
liegen. In gleicher Weise lässt sich zeigen, dass 
die Figur ACGP gleich dem Dreiecke ACD, 
also auch der Theil FPG gleich CDE sein 
muss, u. S. W. 
Man kann ferner zuerst das gegebene 
Dreieck in ein anderes verwandeln, welches 
dann die bequemere Theilung von einem Eck- 
punkte aus zulässt. Soll z. B. das Dreieck 
ABC, wie vorhin, durch Linien, welche von 
einem auf AB gegebenen Punkte P ausgehen, 
etwa in drei gleiche Theile getheilt werden, so 
kann man zuerst 4.2 C mittelst CP und der zu 
ihr parallelen A D in das gleiche Dreieck BPD 
verwandeln, dann BD durch Z und Z in drei 
gleiche Theile theilen und schliesslich .PZ und 
PF als die verlangten Theilungslinien ziehen. 
Bei derartigen Constructionen kann es vor- ! 
kommen, dass eine der gefundenen Linien, z. B. B I A 
PF, theilweise ausserhalb der zu theilenden Figur ABC fällt. Dann muss die- 
B \ À