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Planimetrie. 
Kapitel 5. 
Von dem Messen und Theilen der Kreislinien. 
Winkelmessung. Berechnung des Umfangs und des Inhalts von Kreisen. 
8 58. Vom Messen der Winkel. 
1. Ueber das Messen von Winkeln wurde aus praktischen Gründen bereits 
in der Einleitung, Seite 173, angegeben, dass dasselbe mittelst des rechten Winkels 
und seiner Unterabtheilungen zu geschehen pflege. Während die Bestimmung 
der Maasse für Strecken und in Folge dessen auch derjenigen für Flächen der 
Willkür anheimgegeben erscheint und daher dieselben für den Gebrauch des 
praktischen Lebens durch gesetzliche Anordnungen (Meter, Centimeter u. dgl.), 
jedoch in verschiedenen Ländern in verschiedener Weise festgesetzt wurden, 
existirt für die Winkel ein in der Natur derselben begründetes, also ein Natur- 
maass, welches daher auch überall in gleicher Weise gebraucht wird. Nur über 
die Bestimmung der als kleinere Maasse dienenden aliquoten Theile dieses natür- 
lichen Maasses, des rechten Winkels, können Verschiedenheiten bestehen, doch 
ist die Eintheilung desselben in 60 Minuten zu je 60 Secunden bis jetzt die fast 
allgemein gebräuchliche geblieben. 
Die wirkliche Ausführung des Messens von Winkeln mittelst dieser Maasse 
wurde jedoch bisher nicht gelehrt, vielmehr die Resultate vorgenommener 
Messungen, wo solche behufs der beispielsweisen Erläuterung vorgetragener 
Lehren benutzt wurden, als gegeben vorausgesetzt. Selbst die Gewinnung jener 
Maasseinheiten wurde durch das bisherige noch nicht vollständig ermöglicht, 
denn es ist zwar die Construction eines rechten Winkels und der durch wieder- 
holtes Halbiren desselben entstehenden Theile, sowie auch für den rechten 
Winkel insbesondere die Theilung in drei gleiche Theile gelehrt worden, allein 
man erhält auf diesem Wege nur Winkel von 90°, 60°, 45°, 30°, 15? und solche, 
welche Vielfache dieser Winkel oder Bruchtheile von Geraden enthaltende Hälften, 
Viertel u. s. w. derselben sind. Die Construction beispielsweise eines Winkels 
von einem Grad ist hiernach noch nicht möglich gewesen. 
9. Setzen wir zunächst voraus, dass ein als Maasseinheit anderer Winkel 
dienender Winkel gegeben sei, so ist die Ausführung des Messens der letzteren 
durch unmittelbares wiederholtes Abtragen des Maasses — ähnlich wie dies bei 
dem Messen von Flächen der Fall war — nicht bequem. Man pflegt desshalb 
die Winkelmessung auf andere Weise auszuführen, welche zunächst erläutert 
werden soll. 
Beschreibt man um den Scheitel C eines Winkels mit beliebigem Radius 
einen Kreis, sodass also jener Winkel ein Centriwinkel dieses Kreises wird, so 
gehórt zu dem Centriwinkel ein zwischen seinen Schenkeln liegender Kreisbogen, 
dessen Grösse von der des ersteren abhängig sein muss. Bereits in $ 27 (3) 
wurde der Satz bewiesen, dass zu gleichen Centriwinkeln desselben Kreises oder 
gleicher Kreise auch gleiche Bogen gehören. Dieser Satz liefert das Mittel, auch 
ungleiche Centriwinkel mittelst ihrer Bogen zu vergleichen, denn denkt man sich 
zwei beliebige Centriwinkel eines Kreises durch ein gemeinschaftliches Maass in 
gleiche Theile getheilt, deren Anzahlen bezüglich durch % und z bezeichnet 
werden mógen, so müssen zufolge des genannten Satzes auch die zu jenen Centri- 
winkeln gehórigen Bogen in bezüglich 7 und 7 einander gleiche kleinere Kreis- 
  
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