292 Planimetrie. 
grosse Anzahl solcher Reihen, die allerdings nur theoretisches Interesse haben, 
und deren nähere Behandlung zu weit führt, um hier angegeben werden zu 
können. Alle sonst noch übrigen Theilungen des Kreises, also beispielsweise 
schon diejenige in sieben gleiche Theile, sind in den Elementen nicht möglich. 
Es ist nach dem Vorstehenden auch möglich, ausser Winkeln von 90°, 60°, 
45°, 30? solche von 36°, 185, 159, 18 — 15° = 3° und alle noch übrigen Viel- 
fachen von 3° durch genaue Construction zu erhalten, dagegen ist eine solche 
Construction nicht für jede beliebige Maasszahl eines Winkels môglich. Auch 
die Theilung der Winkelmessinstrumente in die einzelnen Grade und deren 
Unterabtheilungen kann nicht mittelst geometrischer Construction durchgeführt 
werden; sie erfolgt in der Praxis auf mechanischem Wege durch eine sogenannte 
Theilmaschine. Auch mit dem Zirkel kann man durch mechanisches Probiren 
einen Kreis in eine beliebige Anzahl gleicher Theile mit mehr oder minder 
annähernder Genauigkeit theilen, und insofern diese Genauigkeit nicht geringer 
ist, als diejenige, welche auch bei mathematisch strenger Construction in der 
praktischen Ausführung wegen der unvermeidlichen Fehler der Instrumente, der 
Dicke der die Linien darstellenden Striche u. dgl. m. nur zu erreichen ist, kann 
jenes mechanische Verfahren die mathematische Construction in der Praxis 
völlig ersetzen. 
8 55. Construction regelmässiger Polygone. 
1. Die Theilung der ganzen Peripherie in % gleiche Theile führt zunächst 
auf die Construction regelmässiger, einem Kreise ein- oder um- 
beschriebener Polygone. Ist nämlich die Peripherie in % gleiche Theile ge- 
theilt und verbindet man je zwei benachbarte Theilpunkte mit einander, so ent- 
steht ein einbeschriebenes Polygon, dessen Seiten Sehnen gleicher Bogen, also 
einander gleich sind. Da ausserdem die Winkel dieses Polygons Peripherie- 
winkel auf gleichen Bogen, nämlich auf je einem aus % — 2 jener gleichen Theile 
bestehenden, sind, so ist das Polygon auch gleichwinkelig, also regelmässig. Es 
sei ferner durch jeden von z solchen Theilpunkten die Tangente an den Kreis 
gezogen und so ein umbeschriebenes n-Eck construir. Aus der Gleichheit der 
Bogen AB, BC u. s. w. folgt dann die Gleichheit der Centriwinkel 475, 
BMCu.s.w. Da nun jedes der Vierecke 4 M, 
dp BQCM, ... durch die entsprechende Diagonale 
MP, MQ, . .. in zwei congruente Dreiecke zer- 
legt wird, so sind auch die simmtlichen Winkel 
AMP, PMB, BMQ u. s. w. als Hälften gleicher 
Winkel von gleicher Grösse. Nun ergiebt sich leicht 
auch die Congruenz je zweier mit einer Kathete an- 
einander liegender Dreiecke, wie PMB und BMQ, 
und damit schliesslich .dass alle Seiten des Polygons 
PO... und ebenso alle Winkel desselben aus gleich- 
vielen (nàmlich je zwei) gleichen Stücken bestehen. 
Hiernach ist man in den Stand gesetzt, sowol in als um jeden gegebenen 
Kreis jedes regelmássige Polygon zu beschreiben, dessen Seitenzahl in einer der 
Formeln 9 . 27, 3 - 27, 5 - 9», 15 - 2" enthalten ist, oder die Seite eines solchen regel- 
müssigen Polygons zu construiren, wenn der Radius des ihm umbeschriebenen 
sowie wenn der Radius des ihm einbeschriebenen Kreises gegeben ist. 
9. Soll dagegen ein solches Polygon über einer gegebenen Seite construirt, 
oder soll — was auf gleichem Wege geschehen kann — zu der gegebenen Seite 
  
  
       
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
   
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
   
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