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6. Die planimetrischen Constructions-Aufgaben. 341 
tiv, so trage man in diesen Kreis eine Sehne 4B ein, welche aus zwei Strecken 
AP-— m, PB — n besteht, und also gleich 7 + » ist; h.Len ww; und zw, ungleiche 
Vorzeichen, also bei positivem 4, so trage man eine Sehne A == 7% — n ein und 
verlingere 4B um BP =n, so dass also 4P — m ist. In beiden Fällen ziehe 
man dann die durch P und den Mittelpunkt gehende Sehne XY, so sind die 
Abschnitte XP, YP die gesuchten Strecken w, und w,. — Liegt der Punkt 7 
innerhalb des Kreises, so sind beide Strecken nositiv zu nehmen, wenn negativ 
ist, dagegen beide negativ, wenn p positiv ist. Liegt 7 ausserhalb des Kreises, 
so ist stets die eine Strecke positiv, die andere negativ, und zwar hat die gróssere 
immer das entgegengesetzte Vorzeichen wie f. 
Beispiele: Eine gegebene Strecke AB in einem Punkte X so zu theilen, 
dass 4, 4X5 — 9 + RAR: 9, AX BX m dX) — BX5 3. AX - BX = 
(AX — 7X)? ist. 
In einem gegebenen Dreieck ABC eine Transversale X Y parallel zu BC 
zu ziehen, =o dass 4 A AXY=— A BCX; 5. BC: XY — AX: BX, 6. AC: XY 
= AX :CY ist. 
Fine Sehne A4 eines gegebenen Kreises so zu verlängern, dass die von 
dem Endpunkte der Verlängerung an den Kreis gelegte Tangente 7. eine ge- 
gebene Lünge hat, 8. gleich dem zten Theil der ganzen Secante ist. 
Ein rechtwinkeliges Dreieck zu construiren aus 9. einer Kathete und der 
Projection der anderen Kathete auf die Hypotenuse, 10. der Hóhe auf die Hy- 
potenuse und der Bedinguag, dass eine Kathete gleich der Projection der anderen 
auf dic Hypotenuse sei, 11. der Hypotenuse und der Bedingung, dass die drei 
Seiten eine stetige Proportion bilden. 
Einen Kreis zu construiren, 19. der zwei Seiten eines gegebenen Dreiecks 
berührt und von der dritten unter einer Sehne von gegebener Länge geschnitten 
wird, 13. der eine gegebene Gerade in einem gegebenen Punkte berührt und von 
einem gegebenen Kreise unter einem Durchmesser geschnitten wird, 14. welcher 
den einen vor zwei gegebenen Kreisen berührt, durch den Halbirungspunkt der 
Centrallinie derselben geht und seinen Mittelpunkt auf der Peripherie des andern 
hat. 15. Auf einem kreisfórmigen Billard steht ein Ball in einem Punkte P. 
Man soll denselben central so stossen, dass er nach zweimaligem Anprallen nach 
P zurückkehrt. 
E. Einige besondere Arten von Constructions-Aufgaben. 
8 75. Verwandlungs- und Theilungs-Aufgaben. 
a) Die Verwandlungs-Aufgaben, von denen die einfachsten und wichtigsten 
bereits im 8 45 behandelt sind, verlangen die Construction einer Figur, welche 
mit einer gegebenen Figur gleichen Flücheninhalt haben, und welche ausserdem 
eine oder mehrere andere Bedingungen erfüllen soll. Man kann dieselben also als 
Aufgaben bezeichnen, bei denen sich unter den zur Construction einer verlangten 
Figur gegebenen Bestimmungsstücken der Flicheninhalt derselben befindet, indem 
dieser Flücheninhalt eben durch diejenige Figur angegeben wird, deren Ver- 
wandlung verlangt ist. Zur Auflósung kónnen verschiedene der im Vorigen an- 
gegebenen Methoden angewendet werden; selbstverstindlich stützt sich dieselbe 
stets auf die Sütze über den Flücheninhalt der Figuren, S 40—44. 
Häufig wird die Auflösung dadurch erleichtert, dass man die verlangte Ver- 
wandlung successive ausführt, d.h. zuerst die gegebene Figur in eine andere ver- 
wandelt, welche noch nicht alle gestellten Bedingungen erfüllt, diese dann in eine 
  
  
  
  
  
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