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342 Planimetrie. 
zweite und eventuell die zweite in eine dritte u. s. w. verwandelt, indem man 
stets Sorge trügt, dass die bereits erfüllten Bedingungen auch erfüllt bleiben. 
Soll beispielsweise ein gegebenes Viereck 47 CD in ein gleichschenkeliges 
Dreieck mit gegebener Grundlinie verwandelt werden, so kann man zunächst 
jenes nach $ 45 in ein beliebiges Dreieck ABZ, dann dieses ebenfalls nach 
8 45 in ein andres AG mit der gegebenen Grundlinie 4G und zuletzt 
AFG unter Beibehaltung dieser Grundlinie in ein gleichschenkeliges Dreieck 
4 HG verwandeln, indem man die Spitze Z/ als Durchschnittspunkt zweier Oerter, 
nämlich der durch / gehenden Parallelen zu AG und der auf AG in ihrem 
Halbirungspunkt senkrechten Geraden bestimmt. 
b) Die Theilungs-Aufgaben, von denen ebenfalls die einfachsten und wich- 
tigsten bereits früher, S8 46, behandelt sind, fordern die Theilung einer Figur in 
zwei oder mehrere Theile, welche entweder einander gleich sind oder in einem 
anderen gegebenen Verhältniss zu einander stehen. Ausserdem können besondere 
Bedingungen für die Lage oder Richtung der Theilungslinien gestellt sein. In 
allen solchen Fällen kann man jede einzelne der gesuchten Theilungslinien als 
eine solche Linie ansehen, welche für sich die gegebene Figur in einem bekannten 
Verhältniss theilen, also von derselben ein Stück abschneiden soll, welches ein 
bestimmter Theil der ganzen Figur ist. Fine solche Linie lässt sich, wenn man 
zunächst die sonstigen Bedingungen der Aufgabe unbeachtet lässt, nach den An- 
gaben des $ 46 leicht construiren, und man hat dann noch das durch diese 
Linie abgeschnittene Stück in ein anderes zu verwandeln, so dass auch den 
übrigen Bedingungen genügt wird. Die Theilungs-Aufgaben werden also 
auf diese Weise auf Verwandlungs-Aufgaben zurückgeführt. Zuweilen lässt sich 
auch der umgekehrte Weg einschlagen, dass man zuerst die gegebene ganze 
Figur in eine andere verwandelt, welche so beschaffen ist, dass ihre entsprechende 
Theilung durch ein bekanntes Verfahren auch den verlangten Theil der ursprüng- 
lichen Figur liefert. 
Soll z. B. ein gegebenes Viereck ABCD in drei gleiche Theile getheilt 
werden, und zwar durch gerade Linien, welche von demselben Eckpunkt 4 aus- 
gehen, so hat man durch jede der Theilungslinien ein Stück von dem Viereck 
abzuschneiden, welches gleich } desselben ist. Zieht man die Diagonale 2, 
theilt dieselbe in drei gleiche Theile BZ, ZF, FD und zieht die gebrochenen 
Linien AFC, AEC, so ist offenbar durch dieselben das Viereck ABCD in drei 
gleiche Theile getheilt. Man hat dann noch jedes der Vierecke A#CD, 
A4 ECB zu verwandeln, so dass statt jener gebrochenen Linien gerade entstehen. 
Zieht man beispielsweise 4C und durch 7 und Z die Parallelen zu AC, welche 
bezüglich DC in X, BC in Y schneiden mögen, so sind AX und AV die ver- 
iangten Theilungslinien. Man kann aber auch nach der anderen Methode zuerst 
ABCD in ein Dreieck verwandeln, dessen Spitze in 4 und dessen Grundlinie 
in einer Seite liegt, dann dieses Dreieck durch von A ausgehende Linien in drei 
gleiche Theile theilen, u. s. w. 
In der Praxis wendet man noch ein anderes Verfahren an, welches nicht 
streng construirend ist, aber für den Gebrauch hinreicht. Hat man náümlich den 
Flücheninhalt der zu theilenden Figur durch Messung und Rechnung ermittelt, 
so ergiebt sich daraus auch der Inhalt des durch die gesuchte Theilungslinie 
abzuschneidenden Stückes. Kennt man nun durch die übrigen Bedingungen die 
Gestalt und Lage des letzteren so weit, dass man hiernach mittelst seines Inhalts 
die Lage von zur Bestimmung der Theilungslinie dienenden Punkten durch