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Planimetrie.
Das Apollonische Berührungs-Problem, auch Tactionsproblem genannt,
kann in seinem planimetrischen Theil als die Aufgabe bezeichnet werden, einen
Kreis zu construiren, der drei gegebene Kreise berührt. Indem man dabei den
Punkt als die Grenze eines Kreises, dessen Radius bis zum Verschwinden ab-
nimmt, und die Gerade als die Grenze eines Kreises, dessen Radius bis ins
Unendliche wächst, mit heranzieht, also gestattet, statt eines (oder mehrerer) der
gegebenen Kreise einen Punkt, durch welchen der gesuchte Kreis gehen, oder
eine Gerade, welche derselbe berühren soll, zu setzen, erhült man im Einzelnen
zehn Aufgaben. Eine Auflósung des Problems mit Hülfe von Sátzen der neue-
ren Geometrie ist am Schluss des 8 82 angegeben.
Die Malfattische Aufgabe ist die Aufgabe, in ein gegebenes Dreieck
drei Kreise zu beschreiben, von denen jeder die beiden anderen und zwei Seiien
des Dreiecks berührt.
Schlussbemerkung: Die vorstehende Anleitung zur Behandlung von
planimetrischen Constructions- Aufgaben soll und kann den Gegenstand nicht
erschöpfen; der Zweck derselben ist nur für die häufigsten und wichtigsten vor-
kommenden Fälle Wege zu zeigen und damit die Befähigung, auch schwierigere
Aufgaben zu behandeln und selbständige Lösungen zu suchen, vermitteln zu
helfen. Dass die unterschiedenen einzelnen „Methoden“ nicht immer streng aus-
einander zu halten sind, dass vielmehr auch Verbindungen derselben zur Lösung
einer Aufgabe vorkommen können, darf als selbstverständlich bezeichnet werden.
Auch die beigefügten Aufgaben sind nur als Beispiele zu betrachten. In Betreff
weiter gehender Forderungen verweisen wir auf die besonderen Aufgaben-Samm-
lungen für Planimetrie, von denen wir folgende als empfehlenswerth namhaft
machen: :
GANDTNER und JuxGHANS, Sammlung von Lehrsützen und Aufgaben aus der
Planimetrie. Zwei Theile. Berlin, Weidmannsche Buchhandlung.
LIEBER und LÜHMANN, Geometrische Constructions- Aufgaben. Berlin, Verlag
von L. Simion.
Anhang.
Die sogenannten merkwürdigen Punkte des Dreiecks.
S.
Von den sogenannten merkwürdigen Punkten des Dreiecks, nämlich den
Durchschnittspunkten: a) der drei Mittelsenkrechten der Seiten, b) der drei Winkel-
halbirenden, c) der drei Mittellinien und e) der
drei Höhen, ist in den 8 91 (29, 8 22 (3, 8 38 (2,
(3) und (5) die Rede gewesen. Im Nachstehenden
soll noch eine Anzahl auf dieselben bezüglicher
bemerkenswerther Sátze zusammengestellt werden.
1. Der Mittelpunkt AM des dem Dreieck
ABC umbeschriebenen Kreises, d. i. nach 8 21 (2)
der Durchschnittspunkt der auf den Seiten in ihren
Halbirungspunkten C', B', A' errichteten Senk-
rechten liegt innerhalb oder ausserhalb des Drei-
ecks, je nachdem dasselbe spitz- oder stumpf-
winkelig ist; für ein rechtwinkeliges Dreieck ist er der Halbirungspunkt der Hypo-
