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Anhang: Die sogenannten merkwürdigen Punkte des Dreiecks. 
setzung dreier Ausdrücke für den doppelten 'Flächeninhalt des Dreiecks, aa 
— bh; = ch. erhält man ferner den Satz, dass die Rechtecke aus je einer 
Seite eines Dreiecks und der zugehôrigen Hôhe einander gleich sind. 
. BC = BH- BE mit dem allgemeinen 
7 4! 
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Verbindet man endlich den Saiz #0 
pythagoreischen Lehrsatz: 
AC? = AB? + BC? 2 BC- BA, so erhäit man den Satz: 
Das Quadrat jeder Seite eines Dreiecks ist gleich der Summe der Quadrate 
der beiden anderen Seiten, vermehrt oder vermindert um das doppelte Rechteck 
aus der zur ersten Seite gehörigen Höhe und ihrem oberen Abschnitt. 
3. Die Fusspunkte 4', 5', C' der Höhen eines Dreiecks ARC sind die Eck- 
punkte eines neuen Dreiecks, welches das Fusspunkten-Dreieck des ursprüng- 
lichen genannt wird. 
Jede Seite des Fusspunktendreiecks schneidet von dem ursprünglichen em 
ihm ähnliches Dreieck ab, denn die Dreiecke ABC und A'B'C stimmen ausser 
in dem gemeinschaftlichen Winkel C zufolge der Gleichung CA! - CB— CB'- CA 
auch in den Verháltnissen der denselben einschliessenden Seiten überein. 
Daher ist 4 CAB == C CdB-a- Ebenso ist £ BAC =a, und da auch 
die rechten Winkel AA'C und AA'B einander gleich sind, so folgt Z B'A'H 
— / CA'H. Man erhält somit den Satz: Die Hóhen eines D reiecks halbiren 
die Winkel, bezw. die Aussenwinkel des Fusspunktendreiecks, je nach- 
dem sie innerhalb oder ausserbalb des Urdreiecks liegen, und die 
Seiten des ersteren halbiren entsprechend die Aussenwinkel oder 
die inneren Winkel des letzteren. 
Der Durchschnittspunkt der Hóhen ist demnach der Mittelpunkt des inneren 
oder eines der üusseren Berührungskreise des Fusspunktendreiecks, und die 
Eckpunkte des Urdreiecks sind die Mittelpunkte der drei anderen dieser Kreise. 
Auch ergiebt sich aus dem Vorstehenden, dass jeder Winkel des Fusspunkten- 
dreiecks durch einen Winkel des Urdreiecks bestimmt ist. Ist z. B. letzteres 
spitzwinkelig, so ist jeder Winkel des ersteren doppelt so gross als das Comple- 
ment des gegenüberliegenden Winkels des letzteren. Die Auffindung der für 
ein stumpfwinkeliges Urdreieck nóthigen Abünderung dieses Satzes kann dem 
Leser überlassen bleiben. 
Umgekehrt, wenn O, Ou, O;, O, die Mittelpunkte des inneren und der 
äusseren Berührungskreise des Dreiecks ABC sind, so ist dieses letztere das 
Fusspunktendreieck eines jeden der vier 
Dreiecke, welche je drei jener Mittelpunkte 
zu Eckpunkten haben, und der vierte Mittel- 
punkt ist jedesmal der Durchschnittspunkt 
der Höhen des betreffenden Urdreiecks. 
Es folgt dies daraus, dass je zwei der 
Winkelhalbirenden wie z. B. O;5 und 
O,O, als Halbirungslinien von Neben- 
  
winkeln zu einander senkrecht stehen. N \ 
Beschreibt man über OO; als Durch- N 7 
messer einen Kreis, so muss derselbe V 
durch die Scheitel A, B der rechten Op 
Winkel 040. und OBO. gehen. Der 
Halbirungspunkt G von OO. ist also von O und Z gleich weit entfernt. Daher 
ist im gleichschenkeligen Dreieck ZO G der Winkel 2GO gleich 2R —2 GOB