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Anhang: Die sogenannten merkwürdigen Punkte des Dreiecks. 349 
— 909 — y, also L FDC= L EDC ist, dass die Winkel des entstandenen Drei- 
ecks DEF durch die Höhen des ursprünglichen halbirt werden. 
Errichtet man ferner in À die Senkrechte AG auf AC bis zum umbeschriebenen 
Kreis, so ist £ BAG = 90° — u und / DBA = LDC À == 909 — à, also £ BAG 
— Z DBA. Daher ist der Bogen BG gleich dem Bogen 4D und. also auch 
Bogen AG gleich dem Bogen A.D und daher die Sehne 4G gleich der Sehne 
BD. Zufolge der Congruenz der Dreiecke BCD, BCH ist aber BD = BH 
und man erhält somit den Satz: Errichtet man in einem Endpunkte einer 
Seite eines Dreiecks auf derselben die Senkrechte bis zum umbe- 
schriebenen Kreis, so ist diese Senkrechte gleich dem oberen Ab- 
schnitt der zu jener Seite gehörigen Höhe. 
Sind ferner MP, MQ vom Mittelpunkte 77 des umbeschriebenen Kreises 
bezüglich zu den Seiten 45, AC, senkrecht gefállt, so ist das Dreieck. MPQ 
dem Dreieck ZCH ähnlich und daher 
MO: BHA= PO: BC=— AP: AHh=1:2. 
Der obere Abschnitt einer jeden Höhe eines Dreiecks ist also 
doppelt so gross als der Abstand des Mittelpunkts des umbeschrie- 
benen Kreises von der zugehórigen Grundlinie, 
Da nun MO || BH ist, so muss, wenn man M mit Z und Q mit dem Halbirungs- 
punkte Z von J.A verbindet, ein Parallelogramm MBLQ entstehen und als 
QL-—MB-rsein Die Verbindungslinie des Halbirungspunktes des 
oberen Abschnittes einer Hóhe eines Dreiecks mit dem Halbirungs- 
punkt der zugehórigen Seite ist also gleich dem Radius des umbe- 
schriebenen Kreises. 
Die drei auf diese Art möglichen Verbindungslinien sind mithin auch unter 
einander gleich. 
Verbindet man die Halbirungspunkte Z, /V der oberen Abschnitte 547, 
CH zweier Höhen mit einander, so ist ZN: BC=HL : HB=1:2 oder 
LN=1BC. Ebenso ist PQ =1BC, also PQ = ZN. Ferner ist ZV | BC | PQ, 
daher ist LJVQ P ein Parallelogramm und die Diagonalen NP, L@ desselben 
halbiren einander. Ebenso muss auch die dritte der vorher genannten Ver- 
bindungslinien die übrigen halbiren. Hieraus folgt, dass der gemeinschaftliche 
Halbirungspunkt dieser drei Verbindungslinien von den Mitten der drei Seiten 
und den Mitten der drei oberen Hóhenabschnitte gleichweit entfernt ist. Zieht 
man durch denselben Punkt die Parallele zu AB, so muss dieselbe ebenso wie 
NP auch NC halbiren, und da die Parallele auch zu VC' senkrecht ist, so ist 
jener Punkt auch von C' und in gleicher Weise von den Fusspunkten der beiden 
anderen Hóhen ebensoweit wie von /V entfernt. Man wird somit durch diese 
Entwicklung wieder auf den Kreis der neun Punkte geführt. Zugleich ergeben 
sich folgende Sätze: 
Der Mittelpunkt des FEUERBACH'schen Kreises halbirt die Ver- 
bindungslinien der Halbirungspunkte der oberen Hóhenabschnitte 
mit dem jedesmal zugehórigen Halbirungspunkt einer Seite, und der 
Radius dieses Kreises ist halb so gross als der Radius des dem Ur- 
dreieck umbeschriebenen Kreises. 
Da ferner MP gleich und parallel ZV ist, so folgt leicht weiter, dass der 
Mittelpunkt des FEUERBACH’schen Kreises die Verbindungslinie des 
Mittelpunkts des umbeschriebenen Kreises mit dem Durchschnitts- 
punkt der Höhen halbirt.