350 Planimetrie.
Auch aus der Figur Seite 347 lässt sich leicht ableiten, dass, da BG = G4
und BH = HA ist, GH als zur Seite 4B senkrechte Gerade ein Durchmesser
des dem dortigen Dreieck ABC umbeschriebenen Kreises sein muss, u. Ss. W.
Aus 4 P? — Le? — AM? — MP? = AM? — }CH? folgt endlich der Satz:
Das Quadrat jeder Seite eines Dreiecks ist gleich der Differenz
aus dem Quadrat des Durchmessers des umbeschriebenen Kreises
und dem Quadrat des oberen Abschnitts der zu der Seite gehórigen
Hóhe.
5. Zieht man im Dreieck ABC eine Hôhe CC', fällt vom Mittelpunkte M
des umbeschriebenen Kreises die Senkrechte
MP auf die zu der Hôhe gehôrige Seite, ver-
bindet C mit dem Halbirungspunkt .P? dieser
Seite 4 P und zieht die Verbindungslinie von M
und dem Durchnittspunkt 77 der Hóhen, welche
CP in einem Punkte ,S schneiden muss, so ist,
da MP parallel au CH ist, CS: SP CIT. MP
Nun ist vorher gezeigt worden, dass MP=+4CH
ist, daher ist auch. CS: P8 9:1. Der Punls
S ist hiernach der Schwerpunkt des Dreiecks
ABC. Umgekehrt folgt hieraus der Satz:
Der Durchschnittspunkt der Höhen, der Mittelpunkt des umbe-
schriebenen Kreises und .der Schwerpunkt eines jeden Dreiecks
liegen in gerader Linie, und es theilt der Schwerpunkt den Abstand
der beiden anderen Punkte im Verhältniss 2:1, so dass der grössere
Abschnitt dem Durchschnittspunkt der Hóhen anliegt. (EurrR'scher Satz.)
Die drei Punkte M, S, Z stehen also in solcher Beziehung zu einander,
dass durch die Lage je zweier derselben der dritte bestimmt ist.
Ueber den Schwerpunkt eines Dreiecks móge als besonders bemerkenswerth
noch der folgende Satz hier eine Stelle finden:
Zieht man durch die drei Eckpunkte 4, 2, C und durch den Schwerpunkt
S eines Dreiecks unter sich parallele Gerade bis zu einer ausserhalb des Dreiecks
liegenden Geraden, so ist die von S ausgehende gleich dem arithmetischen
Mittel (d. i. dem dritten Theile der Summe) der drei anderen. — Zum Beweise
ziehe man ausser den angegebenen Parallelen 44,, BB,, CC, und SS, noch
die zugehôrige Parallele DD, durch den Halbirungspunkt D einer Seite 4C,
dann erhält man, wenn man noch durch B die Parallele zu B,D, bis zum
Durchschnitt mit OD, zieht, leicht
SS,— BB, BS 2
BD BD DDR
355, —3BB, =2DD, —2BB, oder 3SS, =2DD, + B5,.
Da aber DD, die Mittellinie des Trapezes ACC, A, ist, so hat man 2D D,
= AA, + CC, und substituirt man dies in die vorige Gleichung, so ergiebt sich
die Richtigkeit der Behauptung.
Schneidet die Gerade 4,B, das Dreieck ABC, so liegt entweder einer der
Eckpunkte, oder es liegen zwei derselben mit S auf verschiedenen Seiten der
Geraden, die von ihnen aus gezogenen Parallelen laufen daher nach entgegenge-
setzter Richtung mit der von ,S aus gezogenen. Man überzeugt sich leicht, indem
man zu der Geraden 4,B, irgend eine Parallele ausserhalb des Dreiecks zieht,
mit Anwendung der vorher bewiesenen Behauptung und des Abstandes der beiden
P €;
also