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Anhang: Die sogenannten merkwürdigen Punkte des Dreiecks. 351
Geraden, dass der vorstehende Satz auch für jede das Dreieck A BC schneidende
Gerade gelten muss, sofern man die Parallelen von den mit .S auf verschiedener
Seite der Geraden liegenden Eckpunkten als negative Grössen behandelt. Es ist
also allgemein die vom Schwerpunkt aus gezogene Parallele gleich dem dritten
'Theil der algebraischen Summe der von den Eckpunkten aus gezogenen Parallelen.
Für jede durch den Schwerpunkt selbst gehende Gerade folgt hieraus insbe-
sondere der Satz, dass die algebraische Summe je dreier nach ihr von den Eck-
punkten aus gezogenen Parallelen gleich Null ist.
6. Sind 4,, B,, C, die Berührungspunkte des dem Dreieck 4B C einbe-
schriebenen Kreises O,
welche bezüglich auf den ( ds
Seiten BC, AC, AB lie- A
gen, SO ist bekanntlich DA r2
AB, = AC, BC BA, p e vt 3
und CA, CA, Daher / \ md.
ist AB, = d 1 P.C) Z^ \
= 1140 + AB ~ BC, [> Ps *0 | e cre
= CR} ACA 48 ‘ ex ET
— BC}, oder nach der NC oe Sa puc T
üblichen Bezeichnungs- E
weise der Längen der drei 7
Nen, dum = 40 = fai
à (3+c— 0.
Setzt man &@ + 5+c=2-s, so erhält man
AB, = AC =s—a
In gleicher Weise muss BC, = BA, =s — 5, CH s CB, —s--€ sein
Sind entsprechend 4, Ba, C, die Berührungspunkte des der Seite BC an-
beschriebenen äusseren Berührungskreises 0, des Dreiecks, so ist in gleicher Weise
AB, = AC, = + (AB, + AC,) = 3 (4C+ AB + BC, + BC5)
= #(AC+ AB + BC) =#(a+5+e), oder
AB, = AC, =.
Daher ist BC, — Bd, =s—c und C, = Cd, m$.
Entsprechende Gleichungen gelten selbstverständlich für die durch die Be-
rührungspunkte der beiden anderen äusseren Berührungskreise bestimmten Ab-
schnitte der Seiten.
Aus den vorstehenden Resultaten folgt unmittelbar B A, = CA, nnd BA,
= CA,; die beiden auf derselben Seite liegenden inneren Berührungspunkte
sind also vom Halbirungspunkt dieser Seite gleichweit entfernt. Ferner ist
A14, — BC— BA, — CA, —a —9(s— © = a— (a + b— c)= c —b, d.h. der
Abstand der genannten beiden Berührungspunkte von einander ist gleich der
Differenz der beiden anderen Seiten.
Ferner ist B,8, = AB, — AB, =s— 6 — 0) = 4 und ebenso ist C,C, — a,
mithin auch 2,2, — C,C,. Die auf derselben Seite und deren Verlángerung
liegenden Berührungspunkte des inneren und eines äusseren Berührungskreises
haben also von einander einen Abstand, welcher gleich derjenigen Seite des
Dreiecks ist, die von jenem äusseren Kreise in einem inneren Punkte berührt
wird,
Sind also 4,, 4, bezüglich die Berührungspunkte der den Seiten AC, AB