Planimetrie. 
  
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durch einen Punkt ersetzt werden, indem man sich denkt, dass der stetig ab- 
nehmende Radius dieses Kreises schliesslich gleich Null geworden sei. In 
gleicher Weise kann man sich auch den Radius stetig zunehmend denken und 
schliesslich denselben unendlich gross annehmen, wodurch der Kreis in eine 
Gerade übergeht. 
Für einen Kreis und einen Punkt ist offenbar der letztere gleichzeitig dusserer 
und innerer Aehnlichkeitspunkt, und dasselbe gilt für einen Punkt und eine Ge- 
rade. Für einen Kreis und eine Gerade sind die Endpunkte des zu letzterer 
senkrechten Durchmessers des ersteren die Aehnlichkeitspunkte. 
Die nähere Ausführung dieser Untersuchungen wird hier der eigenen Thitig- 
keit des Lesers, eine vollstindigere und systematische Kenntniss der Lehren der 
neueren Geometrie dem Studium der besonderen einschlügigen Werke überlassen, 
von denen wir als grundlegende STEINER, Systematische Entwicklung, v. STAUDT, 
Geometrie der Lage, CHASLES, Géometrie supérieure, sowie Morsivs, Barycen- 
trischer Calcul namhaft machen. Im Folgenden soll nur noch die Anwendung 
vorstehender Lehren zur Auflósung des im 8 76 erwähnten Problems des APOLLO- 
NIUS kurz angegeben werden. 
5. Als der allgemeinste Fall der betreffenden Aufgabe kann für die Ebene der- 
jenige betrachtet werden, in welchem verlangt wird, einen Kreis zu con- 
struiren, der drei gegebene Kreise berührt. Lässt man nämlich in der 
Auflösung desselben einen oder mehrere dieser letzteren Kreise, wie vorher 
unter 4 gezeigt, in Punkte oder gerade Linien übergehen, so erhält man die 
Auflösungen der übrigen besonderen Fälle des allgemeinen Problems. Es wird 
daher für den vorliegenden Zweck die Behandlung jenes einen Falles genügen. — 
Die Construction des gesuchten Kreises ergiebt sich für denselben ohne Weiteres 
aus dem letzten der in diesem Paragraph unter 3 abgeleiteten Sätze wie folgt: 
Man construire den Potenzpunkt P der drei gegebenen Kreise M,, M3, M3 
und eine ihrer Aehnlichkeitsachsen 4, A,, ferner die Polare von P für einen der 
gegebenen Kreise, z. B. //,, und ziehe von dem Durchschnittspunkt dieser Po- 
lare mit der Aehnlichkeitsachse eine Tangente an diesen Kreis //,. Der Be- 
rührungspunkt Æ, dieser. Tangente ist zugleich der Berührungspunkt zwischen 
dem Kreise 77, und dem gesuchten O, und der Mittelpunkt des letzteren ist der 
Durchschnittspunkt der durch 7, und den Mittelpunkt 77, gehenden Geraden 
mit der von P auf 4,4, gefillten Senkrechten. — Ist bei dieser Construction 
die gewählte Aehnlichkeitsachse 4,4, die äussere, so berührt der gesuchte 
Kreis O die drei gegebenen gleichartig, ist dagegen 4,4, eine innere Aehnlich- 
keitsachse, so berührt O diejenigen gegebenen Kreise gleichartig, deren äusserer 
Aehnlichkeitspunkt auf 44, 4, liegt, den dritten aber ungleichartig. — Da man 
jede der vier Aehnlichkeitsachsen benutzen kann und dabei jedesmal von ihrem 
Durchschnittspunkt mit der Polare zwei Tangenten an //, móglich sein kónnen, 
so kann die Anzahl der Kreise O, welche der Aufgabe genügen, bis zu acht 
betragen. Die nähere Untersuchung dieser verschiedenen Auflösungen je nach 
der gegenseitigen Lage und Grösse der drei gegebenen Kreise, insbesondere 
auch die Angabe der Bedingungen, unter welchen sich jene Anzahl von acht 
Auflösungen auf eine kleinere reducirt, möge hier der Kürze halber übergangen 
werden, ebenso die Abänderung, welche mit der Construction vorzunehmen ist, 
wenn die Mittelpunkte der drei gegebenen Kreise in gerader Linie liegen.