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388 Stereometrie. 
  
  
  
  
  
  
    
Dass in dem vorstehenden Beweise die congruenten Dreiecke nicht in derselben Ebene 
liegen, hindert nicht die Anwendung der in der Planimetrie bewiesenen Congruenzsätze, denn 
die Gestalt und Grösse der Dreiecke wird durch Verlegung derselben in verschiedene Ebenen 
nicht beeinflusst. 
Eine Gerade, welche auf zwei Geraden einer Ebene senkrecht 
steht, steht somit auf allen durch ihren Fusspunkt gehenden Geraden 
dieser Ebene senkrecht (1). Eine solche Gerade und eine solche Ebene 
heissen senkrecht zu einander. Zum Nachweis, dass eine Gerade zu einer 
Ebene senkrecht stehe, genügt es also zu zeigen, dass sie auf zwei Geraden 
dieser Ebene senkrecht ist. Jede eine Ebene schneidende Gerade, welche nicht 
senkrecht zu derselben steht, heisst schief zu ihr. 
9. Der obige Satz gestattet eine Umkehrung: Steht eine Gerade AB 
senkrecht zu beliebig vielen Geraden, welche sie sämmtlich in dem- 
selben Punkte schneiden, so liegen diese letzteren Geraden in einer 
und derselben Ebene (2). Denn construirt man durch zwei beliebige dieser 
Geraden, FC und AD, die Ebene, so ist nur 
d zu zeigen, dass jede dritte dieser Geraden, z. B. 
FE, in diese Ebene fallen muss. Wäre dies 
E f aber nicht der Fall, so müsste die durch AF 
und ZZ bestimmte Ebene die Ebene #CD 
& in einer von ZZ verschiedenen Geraden 7G 
D schneiden. Da AZ nun zu #C und #D senk- 
  
recht ist, und mithin auch zu der Geraden 7 G 
derselben Ebene senkrecht stehen müsste, so 
gäbe es zwei Gerade E und FG, welche 
gleichzeitig auf 4.7 in demselben Punkte und in derselben Ebene A ZG senk- 
recht wären, was bekanntlich nicht möglich ist. 
Auf einer Geraden können also im Raume unzählig viele gerade Linien in dem- 
selben Punkte senkrecht stehen. Der geometrische Ort derselben ist die in diesem 
Punkte zu der ersten Geraden senkrechte Ebene. — Dreht man die Ebene eines 
rechten Winkels um einen Schenkel desselben als Achse, so beschreibt der 
andere Schenkel eine Ebene, und zwar eine, welche zu jener Achse senkrecht 
  
steht. : 
3. Ist 4 eine zu einer Ebene MN in 5 senkrecht stehende Gerade, CD 
eine zu AB parallele Gerade, welche MN in D treffe, und C ein beliebiger 
A Punkt dieser Parallelen, so kann man in 
a € der durch AB und CD gehenden Ebene 
die Geraden BC und BD ziehen, und es 
ist CD als Parallele zu AB wie diese zu 
BD senkrecht. Zieht man noch in MN 
die Senkrechte in B auf BD, giebt der- 
selben die Länge BZ= CD und zieht DZ 
/ y und CZ, so ist 1. ABCDSSAEBD 
M und folglich 2C — DE, daher auch 
3. AEBCSS A EDC, mithin Z CDE-XCBE. Da nun £P zu AD und 
BD, mithin zu der ganzen durch 47 und 2D bestimmten Ebene, also auch 
zu der dritten Geraden BC dieser Ebene senkrecht ist, so folgt, dass auch der 
Winkel CDE ein rechter sein muss. CD steht somit auf zwei Geraden der 
Ebene MN, nämlich auf BD und ED senkrecht, also gilt der Satz: