M nn
390 Stereometrie.
beliebige Gerade unter einem rechten Winkel D.C zu einander gezogen. Dreht
man nun die Ebene eines mit diesem Winkel zusammenfallenden Winkels um
DC, so beschreibt der andere Schenkel eine zu SC senkrechte Ebene. In dieser
letzteren lässt sich die Senkrechte 7.4 auf A.D errichten, und 4 muss zugleich
eine der Lagen sein, welche der die Ebene beschreibende Schenkel nacheinander
einnahm; mithin steht ZA zu BC und zu BD gleichzeitig, also auch zu MN
senkrecht, und es ist somit bewiesen, dass sich in jedem Punkte 4 einer Ebene
eine zu dieser senkrechte Gerade errichten lässt. Da man aber durch jeden
ausserhalb einer Ebene gegebenen Punkt zu jeder beliebigen auf der Ebene senk-
recht errichteten Geraden die Parallele ziehen kann, so folgt mit Hülfe des
Früheren auch die Richtigkeit der zweiten Behauptung.
893. :Schiefe Gerade.
1. Es sei AB eine Gerade, welche zu einer Ebene MN schief stehe, und
F ihr Fusspunkt. Von zwei beliebigen Punkten C, A der Geraden seien die
Senkrechten CDD, EG auf MN gefällt, so ist
CD || EG, daher durch CD und ÆG eine Ebene
möglich, welche MN in der durch D und G
gehenden Geraden schneiden muss. Da in dieser
Ebene die beiden Punkte C und Z der schiefen
Geraden liegen, also auch diese letztere selbst
ihrer ganzen Erstreckung nach in diese Ebene
fällt, so muss auch / in letzterer, und somit in
der Durchschnittshinie DG legen. Die Punkte
B D, G, £F legen also stets in gerader Linie.
Hieraus folgt leicht:
Alle von Punkten einer schief stehenden Geraden auf die be-
treffende Ebene gefállten Senkrechten liegen in einer und derselben
Ebene; ihre Fusspunkte liegen in einer einzigen, durch den F usspunkt
der schiefen Linie gehenden Geraden (1).
Die von einem Punkt auf eine Ebene gefüllte Senkrechte heisst die projici-
rende Linie des Punktes in Beziehung auf die Ebene; der Fusspunkt der Senk-
rechten heisst die Projection des Punktes auf die Ebene. Der geometrische
Ort der Projectionen aller Punkte einer Linie auf eine Ebene wird die Projection,
der geometrische Ort der projicirenden Linien jener Punkte die projicirende
Fläche dieser Linien genannt.
Die projicirende Fläche einer schiefen Linie auf die betreffende Ebene ist
also selbst eine Ebene; die Projection der Linie ist eine Gerade.
Der Winkel zwischen einer schiefen Linie und ihrer Projection heisst der
Neigungswinkel jener Linie gegen die Ebene; die Projection wird auch der
Neigungsschenkel genannt.
9. Werden von einem Punkte 4 ausserhalb einer Ebene MXN die Senkrechte
AB und beliebige schiefe Linien 4C, 4D, AE, ... gezogen, so ergiebt sich
durch die mit Hülfe der Verbindungslinien P C, 8.D, B.E, ... entstehenden recht-
winkeligen Dreiecke,
1) dass die Senkrechte die kürzeste Linie zwischen 4 und MN ist (2).
Daher nennt man die Länge dieser Senkrechten den Abstand oder die Ent-
fernung des Punktes von der Ebene.
2) Alle schiefen Linien 4C, 4D, deren Fusspunkte gleich weit vom Fuss-