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Stereometrie.
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die entstandenen Winkel 4FZ', AE einander gleich sein. Da aber jetzt die
Schenkel #Æ', ZZ in eine und dieselbe Gerade fallen müssen, so sind diese
Winkel in der durch A4 :und ZZ' bestimmten Ebene Nebenwinkel und somit
rechte. Die schiefe Linie steht also senkrecht zu derjenigen Geraden
der Ebene, welche zu ihrer Projection in ihrem Fusspunkt senkrecht
steht (4).
9. Die Zusammenstellung der vorstehenden Sätze ergiebt: Denkt man sich
einen von / ausgehenden Strahl in MV um gedreht; so dass derselbe nach
und nach die Lagen aller möglichen von / ausgehenden Strahlen der Ebene
erhält, so hat der Winkel dieses Strahls mit der schiefen Linie AB seinen
kleinsten Werth, wenn der Strahl mit dem Neigungsschenkel zusammenfällt; von
da an wächst jener Winkel und bleibt dabei so lange ein spitzer, als der
Winkel des Strahls und des Neigungsschenkels ein spitzer ist; er ist ein rechter,
wenn auch dieser letztere ein rechter ist, und wird stumpf, wenn der letztere
stumpf wird. Er erreicht ferner seinen gróssten Werth, wenn der Strahl mit
der Verlängerung des Neigungsschenkels über den Fusspunkt zusammenfüllt, nimmt
dann bei fortgesetzter Drehung des Strahls wieder ab und erhält auf der anderen
Seite des Neigungsschenkels in umgekehrter Reihenfolge nach einander dieselben
Werthe, wie auf der ersten, dergestalt, dass je zwei gleiche Werthe zu gleichen
Winkeln des Strahls mit dem Neigungsschenkel und umgekehrt gehóren.
Es kann hiernach keine Gerade geben, welche eine Ebene schneidet und
nicht auf wenigstens einer durch ihren Fusspunkt gehenden Geraden dieser
Ebene senkrecht steht. Es kann ferner keine Gerade geben, welche eine Ebene
schneidet und mit mehr als zwei von ihrem Fusspunkt ausgehenden Strahlen der
Ebene gleiche schiefe Winkel bildet, vielmehr muss jede Gerade, welche mit
drei oder mehr Geraden einer Ebene gleiche Winkel bildet, zu der Ebene senk-
recht stehen.
Es folgen ferner aus dem Vorhergehenden unmittelbar die nachstehenden
Sätze:
Fällt man von einem Punkte À ausserhalb einer Ebene MN die
senkrechte Gerade A47 auf letztere und von dem Fusspunkt 7 dieser
Geraden die Senkrechte Z7 auf eine beliebige in der Ebene liegende
Gerade CD, so steht die Verbindungslinie des Fusspunktes 7 dieser
letzteren Senkrechten und des ausserhalb der Ebene angenommenen
Punktes 4 senkrecht zu der Geraden C (59)
Es ist námlich in diesem Falle CD die zu der Projection Z7 von 4 in
D senkrecht stehende Gerade.
Fällt man umgekehrt von einem Punkte A ausserhalb einer Ebene
MN die senkrechte Gerade A47 auf diese Ebene und ausserdem die
Senkrechte 47 auf eine beliebige in letzterer liegende Gerade CJ,
so steht die Verbindungslinie Z7 der Fusspunkte senkrecht zu der
Geraden CD (59).
Fällt man endlich von einem Punkte ausserhalb einer Ebene MN
die Senkrechte ZB auf eine beliebige Gerade CD dieser Ebene, er-
richtet in letzterer auf CD die Senkrechte im Fusspunkt B der ersteren
Senkrechten und fällt endlich von A4 auf diezweite Senkrechte wieder
die Senkrechte A47, so steht dieses dritte Perpendikel 4 F senkrecht
zu der Ebene MN (59.
Der letztere Satz giebt eine Auflösung für die Aufgabe: Auf eine gegebene