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394 Stereometrie. 
Die Fusspunkte der genannten parallelen Geraden in Z liegen also in geraden 
Linien MXN, und die zwischen AB und MN liegenden Strecken der Parallelen 
sind gleich lang. 
Insbesondere liegen also auch alle von Punkten einer zu einer Ebene Z 
parallelen Geraden AB auf diese Ebene gefüllten Senkrechten in einer Ebene 
und sind gleichlang, oder eine zu einer Ebene parallele Gerade hat von der 
Ebene überall dieselbe Entfernung. 
4. Jede zu einer Ebene parallele Gerade kreuzt sich mit jeder ihr nicht 
parallelen Geraden dieser Ebene. Sind umgekehrt zwei einander kreuzende Gerade 
AB und CD gegeben, so lässt sich durch jede derselben eine zu der anderen 
parallele Ebene legen, denn construirt man zunächst durch CD und einen be- 
liebigen Punkt Æ von AB eine Hülfsebene, zieht in dieser durch Z die Parallele 
FG zu CD und legt dann die Ebene MN 
D durch AB und FG, so muss MN parallel 
H zu CD sein, da CD parallel zu FG ist. 
ZA x Nimmt man statt des beliebig gewählten 
e i A 
/4 & 
Punktes Z auf A4 irgend einen anderen 
i Punkt an, so erhält man dieselbe Ebene 
A 5 MN wie vorher, da, wie oben gezeigt, 
f F jede zu CD parallele, durch einen Punkt 
von MN gehende Gerade ganz in MN 
liegen muss. Es ist also durch AB auch nur eine einzige zu CD parallele Ebene 
möglich; dieselbe ist der geometrische Ort aller durch je einen Punkt von AB 
gehenden und zu CD parallelen Geraden. 
Denkt man sich ferner von allen Punkten der Geraden CD die senkrechten 
Linien auf MN gefällt, deren geometrischer Ort nach dem Obigen eine Ebene, 
die sog. projicirende Ebene von CD auf MN ist, so muss die Durchschnitts- 
linie dieses Ortes mit MN, d. i. die Projection von CD auf MN, die kreu- 
zende Gerade AB in einem Punkte Z schneiden. Diejenige von einem Punkte 77 
der CD auf MN gefällte senkrechte Linie, deren Fusspunkt Z ist, steht zu 
gleicher Zeit auf beiden sich kreuzenden Geraden AB, CD senkrecht und ist 
die einzige Linie, welche diese Eigenschaft hat. Dieselbe ist zugleich die kürzeste 
Linie, welche zwischen den sich kreuzenden Geraden gezogen werden kann, denn 
ist BD irgend eine andere solche Verbindungslinie, so ziehe man DG parallel 
zu HE und kann dann leicht zeigen, dass DB grösser als DG, DG aber gleich 
HE ist. Die zu zwei einander kreuzenden Geraden 4, CD gleichzeitig senk- 
recht stehende Verbindungsstrecke von Punkten derselben wird daher der Ab- 
stand oder die Entfernung jener beiden Geraden von einander genannt. Sie ist 
identisch mit dem Abstand jeder dieser Geraden von der zu ihr parallelen durch 
die andere gehenden Ebene. 
  
  
  
Kapitel 2. 
Verbindung einer Ebene mit einer anderen Ebene. 
8 4. Parallele Ebenen. 
1. Stehen zwei Ebenen zu einer und derselben Geraden senkrecht, was nach 
8 1 nur dann, wenn die Ebenen die Gerade in verschiedenen Punkten treffen, 
dann aber immer möglich ist, so würde die Annahme, dass die beiden Ebenen 
einen Punkt € gemeinschaftlich hätten, mit Hülfe der durch die senkrechte