ae A dem os Sr NS 
ue etat ange eve ene 
  
  
  
  
  
      
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
    
412 Stereometrie. 
vorigen ist, so ergiebt sich, dass derselbe in diesem Falle zu dem homologen 
Flächenwinkel der Ecke O(ABC) an OB supplementär sein muss. 
Sind also zwei dreiseitige Ecken, welche in den vorher genannten 
Stücken übereinstimmen, nicht congruentodersymmetrisch, so müssen 
die nicht als gleich vorausgesetzten der den ebenen gegenüber- 
liegenden Fláchen winkel zusammen zwei Rechte betragen, und die 
Congruenz oder Symmetrie der beiden Ecken kann also behauptet 
werden, falls die weitere Bedingung erfüllt ist, dass die Summe der 
anderen gegenüberliegenden Flüchenwinkel nicht gleich zwei Rechten 
sei (3). 
Insbesondere kann man also die Uebereinstimmung der beiden Ecken in 
je zwei homologen der noch übrigen Stücke schon dann behaupten, wenn die 
im Allgemeinen leicht zu erkennende Bedingung erfüllt ist, dass die anderen 
gegenüberliegenden Winkel gleichartig, d. h. dass sie gleichzeitig spitze oder 
gleichzeitig stumpfe, bezw. rechte sind. 
4. Stimmen zwei dreiseitige Ecken in zwei Flichenwinkeln und in 
dem einen der letzteren gegenüberliegenden ebenen Winkel überein, 
so kann ebenfalls die Congruenz oder Symmetrie der Ecken nur unter 
der ferneren Bedingung behauptet werden, dass die anderen gegen- 
überliegenden ebenen Winkel nicht zusammen zwei Rechte be- 
tragen (4). 
Es müssen nämlich in diesem Falle die Polarecken der beiden Ecken in 
zwei ebenen Winkeln und einem der gegenüberliegenden Flächenwinkel überein- 
stimmen; diese Polarecken sind also nach dem vorigen Satze congruent oder 
symmetrisch, wenn ihre anderen gegenüberliegenden Flächenwinkel nicht zusammen 
zwei Rechte betragen, und dieses letztere muss wieder der Fall sein, wenn diese 
Bedingung in den ursprünglichen Ecken für die entsprechenden ebenen Winkel 
erfüllt ist. Da nun in diesem Falle die Polarecken auch in ihren übrigen homo- 
logen Stücken übereinstimmen, so folgt aus der Gleichheit der letzteren wieder 
rückwärts die Gleichheit ihrer Supplemente, also der noch übrigen homologen 
Stücke der ursprünglichen Ecke. 
5. Stimmen zwei dreiseitige Ecken in zwei Flächenwinkeln und 
dem von ihnen eingeschlossenen ebenen Winkel überein, so sind 
dieselben congruent oder symmetrisch (5). 
Der Beweis dieses Satzes kann in ähnlicher Weise wie der des vorhergehen- 
den mittelst der Polarecken geführt werden.  Bezeichnen wir der Kürze halber 
die ebenen Winkel einer Ecke durch bez. a, 2, c und die ihnen gegenüberliegen- 
den Flüchenwinkel der Reihe nach durch a, 8, y, sowie entsprechend die Stücke 
einer zweiten Ecke. durch a', /', u. s. w., so folgt aus der Voraussetzung, 
a=d, B=ß, 1=7) 
dass auch 180° — a = 180? — a', 180? — 8 — 180? — 9', 180? — 4 — 180° 
dass somit die beiden Polarecken in einem Flüchenwinkel und den ihn ein- 
schliessenden ebenen Winkeln übereinstimmen und also congruent oder symmetrisch 
sind. Aus der somit folgenden Gleichheit je zweier homologen übrigen Stücke 
der Polarecken, oder aus 
180° — @ = 180° — o’, 180° — 4 == 180° — #', 180° — € = 180° —¢ 
aber folgt a=, b=0', cm), 
  
y ist, 
' 
die ursprünglichen Ecken stimmen also in allen homologen Stücken überein.