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2. Verbindung einer Ebene mit einer andern Ebene. 415 
Winkeln à, c und einem gegenüberliegenden Flüchenwinkel ; im Raume construirt 
werden solle. Man kann dann zeigen, dass nur eine einzige Ecke erhalten wird, 
wenn c zwischen 2 und 180? — 2 liegt, während es im anderen Falle im Allge- 
meinen zweierlei der Aufgabe genügende Ecken giebt. In entsprechender Weise, 
bezw. durch die Polarecke findet man für den anderen Fall, dass B, y und ¢ 
gegeben sind, die Bedingung, dass * zwischen 8 und 180° — B liege. Eine nähere 
Ausführung der Begründung dieser Sätze möge hier, ebenso wie eine weitere 
Untersuchung der Eigenschaften dreiseitiger Ecken, unterbleiben, da das bisherige 
für die Folge genügt, und die Behandlung sphärischer Dreiecke Gelegenheit 
geben wird, auf die Ecken zurückzukommen. Nur der Begriff und die wichtigsten 
Eigenschaften regelmässiger z-seitiger Ecken finden zweckmássig noch hier Er- 
ôrterung. 
$ 9. Regelmässige Ecken. 
1. Unter einer regelmässigen Ecke versteht man eine solche Ecke, 
welche lauter gleiche ebene Winkel und lauter gleiche Fláchenwinkel hat.' Jede 
dreiseitige Ecke, deren drei ebene Winkel gleich gross sind, ist also beispiels- 
weise eine regelmüssige, dagegen kann bei mehrseitigen Ecken nicht aus der 
blossen Gleichheit aller ebenen Winkel auf die der Flächenwinkel oder umge- 
kehrt geschlossen werden. 
Es sei S eine regelmissige z-seitige Ecke, und man habe die an zwei benach- 
barten Kanten SA, S.B liegenden Flächenwinkel hal- 
birt, so müssen die Halbirungsebenen einander in einer 
durch SS gehenden Geraden SM schneiden. Es ist hier- 
durch eine dreiseitige Ecke S(4B.M) entstanden, 
deren an SA und SB liegende Flächenwinkel als 
Hälften zweier nach Voraussetzung gleicher Winkel 
einander gleich sind. Hieraus folgt, dass auch die 
ebenen Winkel ASM, BSM gleich gross sein 
müssen. Construirt man nun die durch SM und die auf SB folgende 
Kante SC bestimmte Ebene, so sind in den beiden dreiseitigen Ecken 
S(ABM), S(BCM) der Voraussetzung zufolge die ebenen ‘Winkel 4.55, BSC, 
ferner die Flichenwinkel an SB gleich gross, und der ebene Winkel BS M ist 
beiden gemeinschaftlich. Demnach muss auch der Flächenwinkel der Ebenen 
MSC, BSC dem Flächenwinkel von MS B, ASB gleich sein, woraus hervor- 
geht, dass ersterer ebenfalls die Hälfte des Flächenwinkels von ASC und. Ds c 
ist. Nunmehr ergiebt sich in gleicher Weise wie vorher, dass in der Ecke 
S(BMC) der ebene Winkel MSC gleich dem ebenen Winkel MS B ist. Man 
lege nun eine neue Ebene durch SM und SD, beweise wie vorher, dass die 
Ecken S(MC D) und S(MBC) in zwei ebenen Winkeln und dem eingeschlossenen 
Flächenwinkel übereinstimmen und beweise daraus durch ganz entsprechende 
Schlussfolgerungen wie vorher, dass der ebene Winkel MSD gleich MSC ist. 
Da sich diese Beweisführung für jede etwa noch folgende durch SM und eine 
Kante der Fcke S gehende Ebene wiederholen lässt, so ergiebt sich, dass die 
Gerade SM mit allen Kanten der Ecke gleiche Winkel bildet. Gleichzeitig ist 
gefunden worden, dass die durch SM und je eine Kante gehenden Ebenen 
die Flächenwinkel der Ecke halbiren, und es müssen daher auch umgekehrt die 
Halbirungsebenen der sämmtlichen Flächenwinkel durch SM gehen. Somit hat 
man den Satz: