Stereometrie.
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Die Halbirungsebenen der Flichenwinkel einer regelmässigen Ecke schneiden
einander süimmtlich in einer einzigen, durch den Scheitel der Ecke gehenden
Geraden; diese Gerade bildet mit allen Kanten der Ecke gleiche Winkel. Die-
selbe heisst die Achse der Ecke.
2. Legt man durch einen beliebigen Punkt 77 von ,S77 die zu ,S M senk-
rechte Ebene, welche die Kanten der Ecke bezüglich in 4, £, C, D, . . . schneide,
so sind die Dreiecke SMA, SMB, SMC u. s. w. sámmtlich congruent, daher
ist MA=MB=MC.... md SA=SB=5C.... Falt man ferner von
M auf irgend eine der Seiten des Polygons ABCD ..., z B. auf 4B, die senk-
rechte Gerade MG, so muss &@ die Seite 47 halbiren und zu ihr senkrecht
stehen. Zieht man noch SG, so halbirt SG den Winkel AS B und steht senk-
recht auf 4. Die Ebene ,SG M steht senkrecht zur Xante AB und somit auch
senkrecht zu der durch dieselbe gehenden Ebene 4.5/5. Da man die gleichen Con-
structionen und Folgerungen auf jede der Ebene:. der Ecke ,S anwenden und da
man ferner die letzteren umkehren kann (weil jede Ebene, wie ,S G 74, die einzige
sein muss, welche die betreffenden Eigenschaften in Beziehung auf die zuge-
hórigen Linien und Flächen hat), so ergeben sich folgende Sätze:
Die durch die Achse und je eine der Halbirungslinien der eLenen Winkel
einer regelmässigen Ecke gehenden Ebenen stehen senkrecht zu der Ebene des
zugehörigen ebenen Winkels, und umgekehrt schneiden sich die auf len Flächen
in den Halbirungslinien der ebenen Winkel errichteten senkrechten Ebenen in
einer einzigen Geraden, nämlich in der Achse der Ecke.
Aus der Congruenz der Dreiecke SGM u. s. w. folgt dann noch, dass die
Achse auch mit allen Halbirungslinien der ebene.. Winkel der Ecke gleiche
Winkel bildet.
Zweiter Abschnitt:
Von den Körpern.
Kapitel 3.
Von den Körpern überhaupt und den Linien und Figuren an denselben.
8 10. Die Pyramide.
1. Die Verbindung von vier oder mehr Ebenen mit einander führt neben
Wiederholungen früher behandelter Raumgebilde auf ein neues, námlich auf den
ringsum durch Ebenen begrenzten Raumtheil oder den ebenflächigen Kôrper.
Die Untersuchung der móglichen Lagen dreier Ebenen gegen einander
zeigte, dass sich mit letzteren kein Raumtheil vollstándig begrenzen lässt, zugleich
aber auch, dass die Hinzunahme einer vierten Ebene zu diesem Zwecke genügt,
denn nimmt man auf jeder Kante einer dreiseitigen Ecke einen Punkt an (der
nicht der Scheitel sein darf) so bildet die durch diese drei Punkte bestimmte
Ebene mit den drei Ebenen der Ecke die Begrenzung eines Kórpers.
Jeder solche von vier Ebenen begrenzte Kórper heisst ein Tetraéder.
Dasselbe ist ein besonderer Fall einer allgemeinen Kórperform, welche entsteht,
wenn die sámmtlichen Kanten einer beliebig vielseitigen Ecke durch eine Ebene
geschnitten werden. Jeder derartige Körper wird eine Pyramide genannt.
Eine Pyramide ist also ein Kórper, welcher von drei oder mehr Ebenen,
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