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3. Von den Körpern überhaupt und den Linien und Figuren an denselben. 435 
Auch jede nicht durch den Mittelpunkt gehende Schnittebene einer Kugel 
schneidet die Kugelfläche in einem Kreise, denn fällt man vom Mittelpunkte M 
der Kugel die senkrechte Gerade MC auf die Schnittebene, verbindet den Fuss- 
punkt C dieser Senkrechten mit beliebigen Punkten A, B des Umfangs der 
Schnittfigur und zieht endlich die Kugelradien MA, MB, so stimmen die Drei- 
ecke MAC, MBC ausser in letzteren in den rechten Winkeln bei C und in 
der gemeinschaftlichen Kathete MC überein und sind 
also congruent; hieraus folgt, dass die homologen 
Seiten CA, CB einander gleich sind, und dass also 
der Punkt C von allen Punkten der Schnittlinie gleich 
weit entfernt ist. Hiermit ist nicht nur die Richtig- 
keit der obigen Behauptung bewiesen, sondern es 
ergeben sich auch folgende Zusätze: 
Der Mittelpunkt jedes Schnittkreises einer Kugel 
liegt in der zu seiner Ebene senkrechten, durch den 
Kugelmittelpunkt gehenden Geraden. — Umgekehrt 
muss die Verbindungslinie des Mittelpunkts einer Kugel mit dem Mittel- 
punkt eines Schnittkreises derselben senkrecht zur Ebene des letzteren stehen, 
und die auf der Ebene eines Schnittkreises in dem Mittelpunkt desselben errich- 
tete senkrechte Gerade geht stets durch den Kugelmittelpunkt. — 
Zwischen dem Abstand CAM — d eines Schnittkreises einer Kugel vom Mittel 
punkte der letzteren, dem Radius # des Schnittkreises und dem Kugelradius Æ 
besteht durch den pythagoreischen Lehrsatz die Beziehungsgleichung 
R? = 72 + d? ; 
welche die Berechnung jeder der drei Grössen R, 7, d aus den gegebenen 
beiden andern gestattet. Diese Berechnung führt noch unmittelbar zu folgen- 
den Sátzen, welche sich übrigens auch unschwer mittelst der Congruenz oder 
Nichtcongruenz von Dreiecken beweisen lassen, die nach Analogie des oben 
benutzten Dreiecks 4 CAM construirt werden kónnen: 
Schnittkreise einer Kugel, deren Ebenen gleiche Abstánde vom Kugelmittel- 
punkte haben, sind gleich. 
Umgekehrt haben gleiche Schnittkreise einer und derselben Kugel (oder 
auch congruenter Kugeln) gleiche Abstinde vom zugehórigen Kugelmittelpunkt. 
Von zwei ungleichen Schnittkreisen einer Kugel hat der gróssere einen 
kleineren Abstand vom Kugelmittelpunkt, und umgekehrt, je näher ein Schnitt- 
kreis diesem Mittelpunkt liegt, desto grósser ist er. 
Insbesondere sind alle durch den Mittelpunkt einer Kugel gehenden Schnitt- 
kreise derselben grósser als jeder, dessen Ebene nicht durch jenen Mittelpunkt 
geht. Daher nennt man die ersteren grösste Kreise, die anderen kleinere 
  
(M. 192.) 
Kreise der Kugel. 
3. Damit eine Ebene eine Kugel durchschneide, muss der Abstand derselben 
vom Mittelpunkt der letzteren kleiner als ein Radius sein, denn der Fusspunkt 
des vom Mittelpunkt MZ der Kugel auf eine Ebene gefällten Perpendikels ist 
derjenige Punkt dieser Ebene, welcher die kleinste Entfernung von M hat; dieser 
Punkt muss aber innerhalb der Kugel liegen, wenn dieselbe von der Ebene ge- 
schnitten werden soll. Ist die Entfernung MC einer Ebene vom Mittelpunkt 47 
der Kugel grósser als ein Radius der letzteren, so liegt C, und umsomehr jeder 
andere Punkt der Ebene ausserhalb der Kugel. Ist endlich MC gleich einem Radius, 
so liegt C auf derKugelfláche und jeder andere Punkt der Ebene ausserhalb der Kugel. 
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