438 Stereometrie. 
mehrerer seiner Seiten in solche Dreiecke zerlegt werden, in denen diese Be- 
dingungen erfüllt sind, und es dürfen daher im Folgenden ausschliesslich Drei- 
ecke der letzteren Art vorausgesetzt werden. In diesem Falle gehört zu jedem 
sphärischen Dreieck eine einfache Ecke am Mittelpunkte der Kugel, deren Ebenen 
die Ebenen der Seiten des Dreiecks sind und deren ebene Winkel als Centri- 
winkel durch die zugehörigen Seiten gemessen werden, während die Winkel des 
Dreiecks die Neigungswinkel der Flächenwinkel der Ecke sind. Man kann daher 
die in $ 7 und 8 über die Stücke dreiseitiger Ecken aufgestellten Sätze ohne 
Weiteres auf die entsprechenden Stücke sphärischer Dreiecke übertragen, und es 
gelten also insbesondere für letztere die folgenden Sätze: 
Gleichen Seiten eines sphärischen Dreiecks liegen gleiche Winkel gegenüber, 
oder die Winkel an der Grundlinie eines gleichschenkeligen sphärischen 
Dreiecks sind einander gleich. In jedem gleichseitigen sphärischen Dreieck 
sind also alle drei Winkel gleich gross. 
Umgekehrt liegen gleichen Winkeln eines sphärischen Dreiecks gleiche 
Seiten gegenüber; sind alle drei Winkel gleich gross, so ist das Dreieck gleichseitig. 
Dagegen liegt der grösseren von zwei Seiten eines sphärischen Dreiecks ein 
grösserer Winkel und umgekehrt dem grösseren von zwei Winkeln eine grössere 
Seite gegenüber. Der grössten von allen drei Seiten liegt also der grösste Winkel 
und dem grössten Winkel die grösste Seite gegenüber. 
Die Summe je zweier Seiten eines sphärischen Dreiecks ist grösser, die 
Differenz je zweier Seiten kleiner als die dritte Seite. — Die Summe aller drei 
Seiten ist kleiner als ein vollstándiger Kreis (als vier Rechte). 
Zu jedem spháürischen Dreieck gehórt ein zweites auf derselben Kugelfláche, 
dessen Eckpunkte Pole der Seiten des ersteren sind, und für welches die Maass- 
1 zahlen seiner Seiten die des jedesmal entsprechenden Winkels des urspriinglichen 
|! Dreiecks zu 180 Grad ergánzen. Dieses Dreieck soll das Polardreieck des 
ursprünglichen genannt werden. Die zu demselben und dem ursprünglichen ge- 
hórigen Ecken am Mittelpunkte sind Polarecken zu einander. Hieraus erklárt 
sich auch die Entstehung des schon früher gebrauchten Namens Polarecke. 
, | Jedes sphárische Dreieck ist selbst Polardreieck zu:seinem Polardreieck, und die 
Maasszahlen seiner Seiten betragen mit der Maasszahl des jedesmal entsprechenden 
Winkels des letzteren zusammen 180 Grad. 
Die Summe der Winkel eines jeden sphárischen Dreiecks ist kleiner als sechs 
und grósser als zwei Rechte. 
Von den sieben spháürischen Dreiecken, welche zu einem gegebenen durch 
Erweiterung seiner Seiten zu vollständigen Kreisen entstehen, liegen drei so, dass 
sie mit dem gegebenen je eine Seite gemeinsam haben; dieselben sollen Neben- 
dreiecke des ursprünglichen heissen. Drei andere besitzen je einen Winkel, 
welcher Scheitelwinkel zu einem solchen des ersten Dreiecks ist und sollen ı 
Scheiteldreiecke desselben genannt werden. Das siebente liegt so, dass jeder 
seiner Eckpunkte mit einem Eckpunkt des ursprünglichen auf demselben Durch- 
messer liegt; es stimmt mit diesem in je zwei Seiten und in je zwei homologen Winkeln 
überein, denn dieselben sind paarweise Scheitelwinkel. Die homologenStücke folgen 
jedoch in umgekehrter Ordnung auf einander, und die beiden Dreiecke sind daher 
fe al nicht congruent, sondern symmetrisch. Dieselben sollen Gegendreiecke heissen. 
we | Sphärische Dreiecke, welche auf derselben Kugel (oder auf congruenten 
Kugeln) liegen, sind congruent oder symmetrisch, wenn sie übereinstimmen 
l. in den drei Seiten oder 2. in zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel,