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4. Die Berechnung der Oberflichen der Korper. 443 
bezüglich die Maasszahlen der Grundkanten, a', 5’, c' die der Seitenkanten, so dass 
die zu a' gehörige mit der zu a gehórigen keinen Punkt gemeinsam hat, und 
ebenso die Kanten à, /' und c, c' einander gegenüberliegen, so erhdlt man für 
— 14,5 -— 15, c — 18, a' = 37, &' = 40, cd — 44. den Inhalt der Grundfläche 
nach der Formel # = y sG—a) s—20) s—o gleich 84 und ebenso diejenigen 
der Seitenflichen gleich 105 V 7, 264, 240, also die gesuchte Oberfläche gleich 
5384-105 y/725865, 8... 
Die Oberfläche eines regelmässigen Tetraëders wird erhalten, wenn man den 
Inhalt einer Seitenfliche mit 4 multiplicirt. Ist nun die Kante des Kórpers gleich 
a gegeben, so ist die Hóhe eines der Dreiecke zufolge des pythagoreischen Lehr- 
catzes gleich 3 V 3, mithin der Inhalt des Dreiecks gleich za 1/3, und die Ober- 
flache des Tetraéders gleich 2a? y3. In gleicher Weise findet man für die Ober- 
flache eines regelmássigen Oktaéders 2a?y 3, für die eines regelmässigen Ikosa- 
éders 5a2:/3. Für einen Würfel erhält man den Inhalt einer Seitenfláche gleich 
a, also die gesammte Oberfläche gleich 622. Für ein regelmássiges Pentagonal- 
dodekaéder berechne man den Inhalt eines der Fünfecke nach Planim. $ 56, 
und man erhilt durch Multiplication desselben mit 12, O= 342) 25 + 10/5. 
Anders als mit den ebenflächigen Kôrpern verhält es sich mit den krumm- 
flchigen; für diese bietet die Planimetrie allein nicht die Möglichkeit der Ober- 
flächenberechnung, und die letztere soll daher im Folgenden für die in den 
Elementen vorkommenden krummen Flächen im Anschluss an speciellere Regeln 
für ebenflächige Körper gelehrt werden. 
8 17. Oberflächen der Prismen und Cylinder. 
1. Bei einem Prisma findet man die Summe der Seitenflächen, wenn man 
die Maasszahl einer Seitenkante mit der Maasszahl des Umfangs eines zu den 
Seitenkanten senkrechten ebenen Schnittes multiplicirt. Ist das Prisma ein 
gerades, regelmàssig-zseitiges und a die Maasszahl einer Grundkante, à die einer 
Seitenkante, so ist die Summe seiner Seitenflächen gleich nab. Für die gesammte 
Oberfläche ist in allen diesen Fällen zu der Summe der Seitenflächen noch die 
der Grundflächen zu addiren. 
Diese Sätze müssen, in so weit sie unabhängig sind von der Anzahl der Seiten- 
flächen, auch für die Grenze des Prismas bei unendlichem Wachsthum der An- 
zahl seiner Seiten gelten. Hiernach erhält man für die krumme Oberfläche oder 
den sogenannten Mantel eines geraden Cylinders die Formel 
M=2rn-h (1) 
wenn % seine Höhe, » den Radius seiner Grundflüche bedeutet. Den Mantel 
eines schiefen Cylinders kann man mit den Hülfsmitteln der Elementar-Mathe- 
matik nicht berechnen, da sich der Umfang des zu den Seitenlinien senkrechten 
Schnittes nicht bestimmen làsst. 
Dieselben Folgerungen ergeben sich mittelst Abwicklung der Cylinderfläche 
in eme Ebene. 
Die gesammte Oberfläche eines geraden Cylinders ist hiernach 
Q-9rnA--9rinc99rm(A-xr). (2) 
Es sei beispielweise der Mantel eines geraden Cylinders zu berechnen, dessen 
Höhe À = 15,4 cm, und dessen Grundflichen-Radius » = 22,6 cm ist, so hat 
man M=—2 22,6 - 15,4 - x Cubikcentimeter auszurechnen.  Wählt man für x