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schnittskreises des Kegelstumpfes, und daher der Mantel des letzteren gleich 
92. H/-x: BC. Zieht man noch MH, so erginzt jeder der Winkel ZAK und 
IHM den Winkel BHÆ zu einem Rechten, also sind jene Winkel gleich und 
mithin die rechtwinkeligen Dreiecke 5 #Æ und HM7 ähnlich, woraus 
BR: BH=HI: HY oder HI BH=7r BK 
folgt. Sind noch ZG und CZ senkrecht zu 4M, so ist AK — G7 — 4C L, und 
setzt man ausserdem vorher 77 — 4 2C und mulüplicirt beide Seiten der 
Gleichung mit 4x, so erhält man 
2: HI rn BO=z2r7r:GL, 
d. h. der oben angegebene Inhalt des abgestumpften Kegelmantels ist ebenfalls 
gleich dem Inhalt eines geraden Cylindermantels, welcher den Radius des ein- 
beschriebenen Kreises zum Grundflächen-Radius und die Hôhe des Kegelstumpfes 
zur Hôhe hat. 
Ist eine Seite C/) des Polygons der Drehungsachse parallel, so beschreibt 
sie den diesem Satze entsprechenden Cylindermantel selbst. 
Ist eine Seite des Polygons senkrecht zur Drehungsache, so beschreibt sie 
eine Kreisfläche, welche für sich zu berechnen ist. 
Hiermit sind alle bei der Rotation des Polygons möglichen Fälle erschöpft, 
und es ergiebt sich, da die genannten Cylindermäntel sämmtlich denselben 
Grundflächen-Radius besitzen, dass die Summe beliebig vieler von Seiten 
des Polygons beschriebener krummer Flächen gleich dem Mantel 
eines einzigen Cylinders ist, welcher jenen Radius hat, und dessen 
Hóhe gleich der Summe der Hóhen der einzelnen Theilkórper ist. (1) 
Insbesondere ist also die krumme Oberfläche des gesammten durch die Ro- 
tation des Polygons entstehenden Körpers gleich dem Mantel. eines. geraden 
Cylinders, dessen Grundflichen-Radius gleich dem Radius des einbeschriebenen 
Kreises, und dessen Hóhe gleich dem innerhalb des Kórpers liegenden Abschnitt 
der Rotationsachse ist. 
2. Wird für das rotirende Polygon der einbeschriebene Kreis gesetzt, so 
wird dieser Abschnitt ein Durchmesser der Kugel, in welche der Rotationskórper 
übergeht, und es ergiebt sich der Satz: 
Die Oberfläche einer Kugel ist gleich dem Mantel eines geraden Cylinders, 
dessen Grundflächen-Durchmesser und dessen Höhe dem Durchmesser der Kugel 
gleich sind. 
Ist » die Maasszahl des Radius der Kugel, so erhält man hieraus für die 
Oberfläche O der letzteren die Formel 
O=4rin. (2) 
Die Oberfläche einer Kugel ist also viermal so gross als der Flächeninhalt 
eines grössten Kreises derselben, und so gross als der Flächeninhalt eines Kreises, 
dessen Radius’ gleich dem Durchmesser der Kugel ist. 
Um beispielsweise die Oberfläche der Erde zu berechnen, wenn diese als 
eine Kugel betrachtet wird, deren Durchmesser 1719 Meilen beträgt, hat man 
97-1719, also O — 171927 — 9980000 Quadratmeilen. 
Als zweites Beispiel soll die Oberfläche einer Kugel berechnet werden, 
welche einem Würfel umbeschrieben ist, wenn man die Länge der Kante, des 
letzteren 2 — 10,8034 kennt. Der Radius dieser Kugel ist die Hälfte der Diagonal- 
achse des Würfels, und da diese letztere gleich ay 3 ist, so ergiebt sich O — 32? , 
und für das Zahlenbeispiel: