Stereometrie.
Kapitel 5:
Die Berechnung der Rauminhalte der Kôrper.
8 20. Rauminhalte von Prismen und Cylindern.
1. Den Rauminhalt oder das Volumen eines Kórpers bestimmen, heisst an-
geben, wie oft ein bestimmter, als Einheit dienender Kórperraum in demjenigen
des gegebenen Körpers enthalten ist, oder mit anderen Worten, das Verhältniss
des räumlichen Inhalts dieses Körpers zu demjenigen des Maasses angeben.
Als Einheit oder Maass für Kórpermessungen hat man wegen seiner einfachen
Beziehungen zu dem Lüngenmaass und dem Flächenmaass einen Würfel ange-
nommen, dessen Kante gleich der Lüngen-Einheit, dessen Grenzfláche also gleich
der Flüchen-Einheit ist Der Würfel empfiehlt sich als Maass auch durch seine
einfache Gestalt, die senkrechten Stellungen der Kanten und der Flächen zu
einander, und dadurch, dass er durch eine einzige Strecke bestimmt ist. Je nach
der Wahl der zu Grunde gelegten Längen-Einheit nennt man einen solchen
Würfel ein Kubikmeter, einen Kubikdecimeter, eine Kubikmeile u. dgl. m.
Der Kubikdecimeter ist gleich dem Rauminhalt eines Liters. Ein Kubikdeci-
meter reinen Wassers wiegt bei einer Temperatur von 4°C ein Kilogramm, ein
Kubikcentimeter ein Gramm.
Wegen dieses Gebrauchs eines Würfels oder Kubus als Raummaasses nennt
man die Maasszahl des Volumens eines Körpers auch den Kubikinhalt desselben.
Die leichteste Vergleichung mit einem solchen Maasse gestatten die Volumina
derjenigen Körper, welche mit demselben am nächsten verwandt sind, nämlich
die rechtwinkeligen Parallelepipeda. Denkt man sich jede der drei in einem
Eckpunkt zusammenstossenden Kanten eines solchen durch ein gemeinschaftliches
Maass in bezüglich zs, z, $ gleiche Theile
getheilt und durch jeden Theilpunkt die zur
Ebene der beiden anderen Kanten parallele
Ebene gelegt, so zerfállt das Parallelepipedon
in m-n-p gleich grosse (congruente) Würfel.
Ist jeder der Theile der Kanten gleich der
Làüngeneinheit, so sind diese Würfel gleich
der Raumeinheit, und das Produkt z-2z-f
der Maasszahlen der drei Kanten ist un-
mittelbar die Maasszahl des Parallelepipedon.
(M. 201.) Ist aber die Kante des als Kôrpermaass
dienenden Wiirfels kein Maass jeder der drei Kanten des Parallelepipedon,
kann man sich aber diese drei Kanten und ebenso die des Wiirfels durch
ein den vier Strecken gemeinsames Maass getheilt denken,
TA so sei ¢ die Anzahl der Theile einer Wiirfelkante. Durch
eT das gleiche Verfahren wie das vorher bei dem Paralleleprpedon
angewendete zerfällt dann der Würfel in g -g 9 = 9? kleinere,
db den Theilen des Parallelepipedon gleiche Würfel, und es ist
À daher das Verhältniss des zu messenden Kôrpers zum Maasse
- ; ; : m n ? ;
gleich n Nun sind aber in diesem Falle —, —, —, die
(M. 202.) q4 ÿ 7
Maasszahlen der drei Kanten des Parallelepipedon, also hat man wieder den Satz:
ARR = —
