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470 Stereometrie. 
men eines Kugelsegments für den Radius 1« und die Hohe « — 4 gleich 
4r (a — A)? (&a—a--A)—kix(a— 72)? (Fa + 7%) cbm, also das Gewicht dieses 
Wassers gleich 4x (a — %)? 3a — 7). 1000 Kg. Es besteht also die Gleichung 
  
3 Á 
45 x = (a—2 TF5 à à ax = (aD) (a + 2, 
(a—h)?(a 4- 24), 
E Ua o 
oder für das Zahlenbeispiel: 
8 - 0,8 - 1,4 
3. Aus einer Kugel vom Radius 7 soll eine körperliche Zone herausgeschnitten 
werden, deren Höhe gleich 47, und deren Volumen gleich 44 des Volumens 
der Kugel sei. Welche Abstände müssen die Endflächen derselben vom Mittel- 
punkt der Kugel haben? 
Das Volumen der korperlichen Zone, d. i. für Z4 — dr, 
$ur(3r? — 3p3 — 125 rp) 
soll gleich 4} -#7*T sein. Man hat somit für die Unbekannte # die Gleichung 
Hy? — ph + drp — Wr? oder A? 172 = 0 
Hieraus ergiebt sich 5 — 0 oder 5 — xir. 
Für 5 — 0 ist der Abstand der kleineren Endfláche vom Mittelpunkt gleich 
der Hohe des Segments, also gleich 17; der andere Werth p = = 1» zeigt, dass 
das untere Vorzeichen in den Formeln zu wihlen, demnach der Abstand der 
anderen Endfliche vom Mittelpunkt gleich Z7—p, d. i. gleich lr — 4» — 0 zu 
nehmen ist. Beide Auflösungen ergeben also dasselbe Resultat, 
6. Das Volumen eines von der Fläche eines sphärischen Zweiecks und den 
Ebenen der zugehörigen grössten Halbkreise begrenzten Körpers lässt sich in der- 
selben Weise, wie das Volumen der ganzen Kugel und das eines Kugelausschnitts 
als Summe unendlich vieler Pyramiden betrachten, deren gemeinschaftliche Spitze 
der Mittelpunkt ist, deren Höhen sämmtlich gleich dem Radius der Kugel, und 
deren Grundflächen zusammen gleich der Fläche des Zweiecks sind. Es ist somit 
das Volumen eines solchen Körpers ebenfalls gleich dem dritten Theile des 
Produkts aus seiner krummen Oberfläche und dem Kugelradius. 
Ganz dasselbe Verfahren und somit auch derselbe Satz gilt für das Volumen 
eines durch die Fläche eines sphärischen Dreiecks und die Ebenen der zugehörigen 
Ecke begrenzten Körpers, und ebenso für solche Körper, die von der Fläche 
eines sphärischen Polygons und den Ebenen der zugehörigen Ecke begrenzt 
werden. Noch allgemeiner gilt der Satz für jeden Körper, welcher aus 
einer Kugel durch eine Fläche oder ein System von Flächen herausgeschnitten 
wird, wenn letzteres durch die Bewegung einer Geraden entstanden gedacht werden 
kann, die bei dieser Bewegung beständig durch den Mittelpunkt der Kugel und 
nach einander durch alle Punkte des Umfangs irgend eines ringsum begrenzten 
Theiles der Kugelfläche geht. 
Unter Beibehaltung der bisherigen Bezeichnungen erhält man hiernach für 
den zu einem sphärischen Zweieck gehôrigen Kôrper die Formel 
2 3.7 
crm P ges (09 
welche auch mittelst des Satzes gefunden werden kann, dass sich das Volumen 
eines solchen Kórpers zu dem Volumen der ganzen Kugel verhalten muss, wie 
der Centriwinkel « zu 360 Grad. 
  
Vi.