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Trigonometrie.
8 18. Vierter Fall: Gegeben seien die drei Seiten.
1. Der allgemeine pythagoreische Lehrsatz liefert in seinen drei Formen
durch Auflósung auf die Cosinus der Winkel die Mittel zur Behandiung dieses
Falls. Es ist darnach
52 +c? — a?
oso = Egy s
a? + c? — 52
mie 2ac
a? + 5? — c?
fe umor Sa
Man findet den Satz in dieser Gestalt von einigen Autoren mit dem von anderen für
sonstige Formeln gebrauchten Namen Cosinussatz bezeichnet.
Sind die Zahlenwerthe für a, ) und c so vielziffrig, dass die Berechnung der
Quadrate die Anwendung der Logarithmen wünschenswerth macht, so tritt bei
den vorstehenden Formeln wieder der Uebelstand hervor, dass dieselben keine
ununterbrochene logarithmische Rechnung zulassen. Unter dieser Voraussetzung
erscheint also auch hier die Ableitung anderweiter, zweckmüssigerer Formeln
wünschenswerth.
2. Aus der vorstehenden Formel für cosa folgt
52 + çà — a? 966— 83 — çù + ga?
1—cosa = 1 — ==
26¢ Em 2h €
(042 — (92 — She + €?) ca =)?
UT 26¢ Se 2b¢
Wendet man hier auf den Zahler den arithmetischen Lehrsatz m2 — #2 — (y — x)
+ (m + 7) an und setzt dann den für 1 — cosa gefundenen Ausdruck in die Formel
i 1—cosa
san 5 à = EO NE
ein, so ergiebt sich
2 (a — à + c) (a + 6 — c)
Sin 5 a = 4 bc , (1)
und entsprechend ist
; (a + ö— c) (6 + c — a)
sn48- V D ; (1%)
; (/ 4- c — a) (e — 6 -- c
sinl p 5 ) (15)
Aus diesen drei Formeln kann man schon die drei Winkel durch ununter-
brochene logarithmische Rechnung finden, da die Trinome in den Zühlern der
Radicanden vor dem Gebrauch der Logarithmentafel ausgerechnet werden.
Man kann aber auch in ganz analoger Weise, wie folgt, verfahren:
52:2. a2 8c == 62 1-2 — 0?
1 + cosa= 1—+ =
26c iT 26¢
b 2 0?
m pa ako
b b oe
cos $a s tet 2 t É e (2) und entsprechend
(a + & -- e) (e — 5 4 c)
4 ac
& 4-6 2- c) (a 29- 6 — c
cos #7 = a | e
cos $0 — (22)
