5. Rechtwinkelige sphärische Dreiecke. 597
bestehen. Durch Verbindung der ersten derselben mit der vorher abgeleiteten Hi
| cosa-sinb i
| Formel cos « = ——— erhält man noch
Sin €
| cosa — cos a-sinQ, (5)
und durch Verbindung der letzten mit (4) endlich
md tang a tang B es mt oder unter Anwendung von (1)
Is 90° cos c — cot a. - cot. (6)
= MC Die vorstehend entwickelten sechs Formeln enthalten, wie sogleich im Ein- |
CMA zelnen gezeigt werden soll, die Lösung der Aufgabe, aus zwei neben dem rechten | i
ie Ge- Winkel gegebenen Bestimmungsstücken eines rechtwinkeligen sphárischen Drei- E
krecht ecks die übrigen zu berechnen. Da dieselben aber nur unter der Voraussetzung
. nach abgeleitet sind, dass alle Stücke des Dreiecks ausser y kleiner als 90° seien, So
4 und muss vor jener Anwendung der Beweis geliefert werden, dass dieselben auch i
vinkel ohne diese Bedingung gültig bleiben. Für diesen Beweis ist nur nöthig, noch iEn
| dem die beiden Fälle zu unterscheiden, dass eine einzelne der Katheten und dass
"erner beide Katheten grósser als 90? sind, denn mach Stereom. & 15 ist im ersteren
Yt zur Fall der der kleineren Kathete gegenüberliegende Winkel nothwendig spitz, der
Nun der grósseren gegenüberliegende stumpf und die Hypotenuse grösser als 90°,
während im letzteren Fall nothwendig beide Winkel stumpfe sein müssen und
die Hypotenuse kleiner als 90° sein muss. Man kann nun in beiden Fällen eine
Figur in analoger Weise, wie vorhin geschehen, construiren und dann an ihr
dieselben Formeln wie oben, ebenfalls in ganz entsprechender Weise ableiten.
Es fällt dabei, wenn BC < 90°, AC > 90° ist, Æ auf die Verlängerung von Wn
AM, wenn BC > 90° und AC > 90° ist, XD auf die Verlängerung von CM, p
und im letzteren Fall enthält das Dreieck BD Æ statt des Winkels « den Neben- Ud
winkel desselben. Entsprechendes ergiebt sich, wenn BC > 90 and AC =< 90°
ist. Eine nähere Ausführung des Beweises wird hiernach nicht nothwendig sein,
und es kann somit die allgemeine Gültigkeit der obigen sechs Gleichungen für
constatirt gelten.*)
Aus-
jenen
8 21. Die Berechnung der Dreiecke.
n, SO Die einzelnen Fälle, welche bei der Berechnung rechtwinkeliger sphärischer
Dreiecke vorkommen können, sind folgende:
1) Gegeben seien die beiden Katheten a, à. Man findet die Hypote-
nuse c unmittelbar durch die Gleichung (1) und die Winkel durch (4) und die
lurch ihr entsprechende Gleichung für ß.
Es sei beispielsweise a — 20° 5',7, à — 72? 8,9 gegeben, so hat man folgende
Ausrechnung:
log cos a = 9,912972. log tang a — 9,56330 log tang & — 0,49207
log cos b — 9,48651 log sn b — 9,917857 log sin a = 9,53603
log cos c = 9,45993 log tang a. = 9,58473 Jog tang p — 0,95604
(c 73° 16%) 4 = 91? 155 8 — 83? 417,1.
Zu einer Probe der Richtigkeit kann die Gleichung (6) dienen, der zufolge
sphä- | log cos c + log lang a + log tang 8 = 0 sein muss.
| *) Die Fälle, in welchen eine oder beide Katheten gleich 90° sind, bedürfen zufolge
Stereom, 8 7 keiner weiteren Behandlung.
