40 Arithmetik und Algebra. 
Durch Verallgemeinerung dieser Beispiele lassen sich leicht allgemeine 
Regeln ableiten, welche die Wiederholung des ganzen Verfahrens in jedem ein- 
zelnen Fall überflüssig machen. 
8 25. Abgekürzte Decimalzahlen. 
1. Die Anzahl der Ziffern der Periode eines durch Division zweier Zahlen 
entstehenden unendlichen Decimalbruchs muss, wie bemerkt, mindestens um I 
kleiner als der (als ganze Zahl genommene) Divisor sein. Sie ist im einzelnen 
Fall möglicherweise mehr oder minder erheblich geringer, als dieser Grenz- 
werth, kann aber auch denselben erreichen. Beispielsweise erhält man aus einem 
gemeinen Bruche, dessen Nenner 99 ist, nicht eine 98stellige, sondern nur eine 
zweistellige Periode; dagegen hat die Periode für den Nenner 7 stets die volle 
Anzahl von 6 Stellen. Hieraus geht hervor, dass man, wenn der Divisor nicht 
eine verhältnissmässig kleine Zahl ist, bis zur Feststellung der Periode eine grosse 
Anzahl von Decimalstellen zu bestimmen haben kann. Abgesehen von der Un- 
móglichkeit, einen unendlichen Decimalbruch vollständig hinzuschreiben, liegt 
hierin für das praktische Rechnen eine grosse Unbequemlichkeit. Es -entsteht 
daher die Frage, ob in solchen Fällen nicht eine Abkürzung möglich sel. 
In der Praxis ist es nie möglich, die den Rechnungen zu Grunde liegenden 
Messungen mit absoluter Genauigkeit auszuführen, da weder die dazu gebrauchten 
Messinstrumente noch auch die menschlichen Sinne so vollkommen sind, um 
eine solche Genauigkeit zuzulassen. Auch gestatten die Bedürfnisse der Praxis 
stets das Ausserachtlassen von Grössen, die eine gewisse durch den jedesmal 
beabsichtigten Zweck bestimmte Grenze nicht übersteigen. Es ist daher in solchen 
Fällen auch gestattet, mit Zahlen zu rechnen, welche mehr oder minder fehler- 
haft sind, wenn nur der daraus entstehende Fehler des endlichen Resultats nicht 
über die im einzelnen Fall gestattete Grenze hinausgeht. 
Eine solche fehlerhafte Zahl entsteht, wenn man bei einem Decimalbruch 
nur eine bestimmte Anzahl der vorhandenen Decimalstellen benutzt und alle 
folgenden vernachlässigt. Es fragt sich zunächst, welches die Grenzen der dabei 
begangenen Fehler sind. Da nun die erste Decimalstelle die Zehntel, die zweite 
die Hundertel, die dritte die Tausendtel enthält u. s. W., SO ergiebt sich, dass 
der Fehler bei dem Weglassen aller Decimalstellen weniger als eine ganze Ein- 
heit, bei dem Weglassen der auf die erste folgenden Decimalstellen weniger als 
4, bei dem Beibehalten von 3, 8, 4, .. . Decimalen weniger als iy, 1090 
Twiom - - - beträgt. Allgemein ist, wenn man 7 Decimalstellen beibehált und 
die folgenden weglisst, der Fehler kleiner als eine Einheit der letzten beibe- 
haltenen Stelle, d. h. kleiner als 3 wo 107 ein Produkt von z Faktoren bedeutet, 
die sámmtlich gleich 10 sind. 
Eine schürfere Begründung dieses Satzes folgt daraus, dass der durch Weglassen aller 
Decimalstellen begangene Fehler nicht grösser als der Werth des periodischen Decimal- 
bruchs 0,999 ..., der bei Beibehaltung nur einer Decimalstelle entstehende Fehler nicht grósser 
als 0,0999 ... sein kann, u. s. w. 
9. Einen Decimalbruch (oder auch eine ganze Zahl) welcher durch Weg. 
lassen von Decimalstellen abgekürzt ist, nennt man eine abgekürzte oder eine 
unvollständige Decimalzahl. Bei dem Abkürzen ist, wenn die erste wegge- 
lassene Ziffer 5 oder mehr als 5 beträgt, die letzte beibehaltene Ziffer um eine 
Einheit zu erhöhen, denn in diesem Falle würde ohne die Erhöhung der Fehler 
über eine halbe Einheit der letzten Stelle betragen, während er bei der Erhöhung 
      
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
   
  
  
  
  
    
     
   
   
   
   
    
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