562 Darstellende Geometrie. 
der Ebene ABC, und ZZ die gesuchte Verticalspur. Fügt man noch die 
Spuren Di und Da der Geraden JC hinzu, so müssen diese auch auf den 
gefundenen Spuren der Ebene ABC liegen; man erhält dadurch eine Probe 
für die Genauigkeit der Construction. 
Hat man durch P (Fig. 264) eine Ebene zu legen parallel zu den Geraden a 
und 4, so muss diese Ebene die beiden Geraden enthalten, welche durch P parallel 
zu @ und ? gelegt sind Die Grundrisse dieser Geraden sind die Geraden a' 
und ß', welche durch 7' parallel zu a' und 7' gelegt werden; und die Aufrisse 
a' und 8' gehen durch P" parallel zu 4" und )". Die Spuren der gesuchten 
Ebene sind die durch die gleichnamigen Spuren von « und f gelegten Geraden. 
8 4. Die Projection des Kreises. 
1. Die Projection des Kreises heisst Ellipse. Legt man durch den Mittel- 
punkt eines Kreises eine Ebene II parallel zur Projectionsebene II, so ist die 
Projection des Kreises auf II der Projection auf II, congruent. Statt daher die 
Projection des Kreises auf eine beliebige Ebene zu untersuchen, genügt es, die 
Projectionsebene durch das Centrum des projicirten Kreises zu legen. 
Die Projection eines Kreisdiameters wird von der Projection des Kreismittel- 
punktes halbirt Die Projection des Kreismittelpunktes hat also für die Ellipse 
die Eigenschaft dass sie die Mitte aller durch sie hindurchgehenden Ellipsen- 
sehnen ist. Man nennt sie daher das Centrum der Ellipse, und die durch das 
Centrum gehenden Sehnen heissen Ellipsendiameter. 
Während alle Kreisdiameter gleich sind, sind die Ellipsendiameter von un- 
gleicher Lànge, denn sie sind die Projectionen der unter verschiedenen Winkeln 
gegen die Projectionsebene geneigten Kreisdiameter. 
Die Projection einer gegebenen Strecke (eines Kreisdiameters) wird am 
grüssten, wenn die Strecke der Projectionsebene parallel ist; alsdann ist die 
Projection gleich der projicirten Strecke; sie wird immer kleiner, je grósser der 
(spitze) Winkel wird, den die Strecke mit der Projectionsebene bildet. Unter 
allen Geraden einer Ebene Z, die durch einen festen Punkt II derselben gehen, 
bildet die durch II gehende Hauptlinie den kleinsten Winkel mit der Projections- 
ebene, nämlich den Winkel 0°, und die durch Il gehende Falllinie den grössten, 
nämlich den Neigungswinkel « der Ebene Z gegen die Projectionsebene; 
dreht man eine Gerade auf Z aus der Richtung der Hauptlinie bis in die der 
Falllinie, so wüchst deren Neigungswinkel gegen Il von 0° bis a. 
Hieraus ergiebt sich: Der grósste Ellipsendiameter ist die Projection des 
Kreisdiameters, der mit der Projectionsebene parallel ist, und ist gleich dem 
Kreisdiameter. Der kleinste Ellipsendiameter ist die Projection des Kreisdiameters, 
der auf dem vorigen senkrecht seht; dieser Ellipsendiameter steht senkrecht auf 
dem grössten und ist gleich dem grössten, multiplicirt mit dem Cosinus des 
Winkels, unter dem die Kreisebene gegen die Projectionsebene geneigt ist. 
Der grösste Ellipsendiameter heisst die grosse Achse der Ellipse, der 
kleinste die kleine Achse; jener wird mit 2a, dieser mit 26 bezeichnet. Ist 
« der Neigungswinkel der Kreisebene gegen die Ellipsenebene, so hat man also 
für die Halbachsen die Formel: 
b uz a cos o. 
9. Um einen Kreis mit dem Radius ¢ auf eine Ebene durch das Centrum 
unter einem Winkel a zu projiciren, zeichne man in der Projectionsebene die 
Umlegung des Kreises und ziehe durch O die Spur 4,4 der Kreisebene. Dann 
     
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
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