Darstellende Geometrie,
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gleiche Strecken abträgt und durch die Endpunkte eine Ebene legt; diese schneidet
den vorhandenen Theil der Ecke in zwei Seiten und den eingeschlossenen
Winkel eines regulären % Ecks; ergänzt man dasselbe und verbindet die Ecken
dieses Polygons mit dem Scheitel der Ecke, so erhält man die noch fehlenden
Kanten der Ecke.
8. Eine regulüre z-seitüge Ecke ist durch ihren Kantenwinkel sowie durch
ihren Fláchenwinkel bestimmt.
Um z. B. eine reguláre sechsseitüge Ecke zu construiren, deren Kanten-
winkel die gegebenen Grössen «
(<360°:6) hat, construiren wir zu-
nichst einreguldres Sechseck ABCDEF.
Gehen die Kanten der Ecke durch die
Ecken dieses Sechsecks, so liegt der
Scheitel auf der Geraden, welche durch
das Centrum des Sechsecks normal zur
Ebene desselben errichtet ist.
JederPunktdieser Central-Normalen
liefert mit zwei folgenden Ecken 4 und
B verbunden ein gleichschenkeliges
(M. 299.) Dreieck, dessen Basis 4.7 ist, und das
den gegebenen Winkel « an der Spitze hat. Wir construiren die Umlegung
dieses Dreiecks in die Ebene des Sechsecks, indem wir Gerade durch 4 und B
legen, die mit der Senkrechthalbirenden von AB die Winkel HGA= BZGH
= La einschliessen. Dreht sich ABG um AB, so bewegt sich der Grundriss
von G auf der Geraden G 7; liegt der Grundriss der Spitze des Dreiecks in O,
so liegt die Spitze selbst auf der Central-Normalen durch O. Legen wir die
durch OG gehende Verticalebene um, so ist O7 (-L OG) die Umlegung der
Normal-Centralen des Sechsecks, und der Weg des Punktes G bei der Drehung
ist der um A mit Radius ZG beschriebene Kreis, sein Schnitt mit O7 also die
Endlage der Spitze G. Mithin ist /O die Hohe des Scheitels der gesuchten
Ecke über der Ebene des Sechsecks. Mit Hülfe dieser Hóhe kann man den
Flichenwinkel unserer reguláren Ecke aus der dreiseitigen Ecke, die den Scheitel 5
und die Kanten BA, BC, BZ hat, ebenso wie in No. 1 bestimmen.
Hat man eine regulüre zseitige Ecke aus dem Flächenwinkel zu constuiren,
so suche man das Supplement dieses Flichenwinkels auf und construire eine
reguläre mseitige Ecke, welche dieses Supplement zum Kantenwinkel hat; diese
Ecke ist die Polarecke der gesuchten. Bestimmt man den Flächenwinkel der
Polarecke und nimmt davon das Supplement, so ist letzterer der Kantenwinkel
der gesuchten Ecke. —
9. Solcher Polyéder, deren Flächen alle die gleiche Anzahl Ecken haben,
und an deren Ecken allen die gleiche Anzahl von Flächen liegt, giebt es nach
dem EvLEr’schen Satze: »Die Anzahl der Ecken und Flächen eines Poly-
éders ist zusammen um zwei Einheiten grösser, als die Anzahl der
Kanten« — nicht mehr als fünf Arten:
1. Tetraéder, mit 4 dreieckigen Flächen, 4 dreiflächigen Ecken und 6 Kanten;
. Octaëder, mit 8 dreieckigen Flächen, 6 vierflächigen Ecken, und 12 Kanten;
. Hexaéder, mit 6 viereckigen Fláchen, 6 dreifláchigen Ecken und 12 Kanten;
. Dodecaéder, mit 12 fünfeckigen Flüchen, 20 dreiflàchigen Ecken und
30 Kanten;
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