586 Darstellende Geometrie. 
zwei Ebenen durch 4 und D F und ZZ, so ist damit eine reguläre Octaëderecke 
bei 4 vervollständigt. 
Bei B liegen nun drei Kantenwinkel und die von ihnen eingeschlossenen 
Flächenwinkel (an den Kanten BZ und J£ A) einer reguláren Octaéderecke; fügen 
wir die Ebene BFC hinzu, so ist die Octaéderecke vollstindig. 
Ebenso finden wir jetzt bei C drei Kantenwinkel und die von ihnen einge- 
schlossenen Flichenwinkel einer reguliren Octaéderecke, die wir durch die Ebene 
CFD vervollständigen; durch dieselbe ist auch die Octaëderecke bei D vervoll- 
ständigt worden und das Polyéder ist nun geschlossen. Auch ist bei / noch eine 
Ecke entstanden, die ebenso wie die bei Æ eine reguläre Octaëderecke ist. 
Aus dieser Construction geht hervor, dass man ein reguläres Octaëder erhält, 
wenn man drei gleiche Gerade mit ihren Mittelpunkten so zusammenlegt, dass 
sie miteinander rechte Winkel bilden; die sechs Endpunkte sind dann die Ecken 
eines regulären Octaëders. 
12. Das reguläre Hexaëder (Tafel III, 2) wird von Quadraten umschlossen, 
deren je drei an einer Ecke liegen. Die Ecken und Flüchen an den Eckpunkten 
der Hexaëderfläche 4 BCD werden daher erhalten, indem wir in A4 7 C.D Lothe zur 
Ebene des Quadrats errichten, und 4a — Bf = Cy= D3 = AB machen. Die 
Punkte «818 liegen dann in einer Parallelebene zu 47 C.D und bilden die Ecken 
eines Quadrats, durch welches reguläre Hexaëderecken bei e, f, y und à vervoll- 
stindigt werden. 
13. Das regulire Dodecaéder (Tafel III, 3). In jeder Ecke des regulären 
Dodecaéders stossen drei regulire Fiinfecke zusammen, der Kantenwinkel der Dode- 
caéderecke beträgt demnach 108°; die Endpunkte der drei Kanten einer Ecke 
bilden ein gleichseitiges Dreieck, dessen Seite eine Diagonale einer Fläche des 
Dodecaéders ist. 
Wir entwerfen in der Projectionsebene II zunüchst ein reguláres Fünfeck, das 
die gegebene Kante des Dodecaéders zur Seite hat. 
Die dritte Kante bei 4 bildet mit 4.72 und AZ gleiche Winkel (108°), liegt 
also in der Ebene, welche durch die Halbirungslinie des Winkels 5.4 E geht und 
auf der Ebene des Winkels senkrecht steht; der Grundriss dieser Kante fállt daher 
in die Halbirungslinie o4 des Winkels B4Z. Construirt man in II das reguläre 
Fünfeck 484.8, so hat man dasselbe um 47 zu drehen, bis der Grundriss 
von a in wd liegt. Zieht man ad -L 45, so kommt nach der Drehung 
der Grundriss von « nach #'. Zieht man ferner fe -L AB und schneidet ße durch 
CF, so ist G' der Grundriss von à nach der Drehung. Wir werden nachher 
sehen, dass «.7' — o G', dass also 7'G' die Seite des dem Kreise mit dem Halb- 
messer u/' eingeschriebenen regulären Zehnecks ist. Wir bestimmen noch die 
Projection des fünften Eckpunkts Z7. Machen wir 7r 1 67" und dn = dq, sowie 
G'Y L 3 F', so sind F'n und (9 die Hóhen der zu 7' und G' gehórenden Punkte über 
der Ebene A45 C D £F. 
Nun liegen bei B zwei Kantenwinkel HBA, ABC, und ein Flächen- 
winkel (an der Kante BA) der regulären Dodecaëderecke; dieselbe wird daher 
durch Hinzufügung der Ebene CBH vervollständigt, und es ist CBH = 108°. 
Wir ergänzen das reguläre Fünfeck, das CB und BÆ zu Seiten hat. — Ebenso, 
wie soeben die Dodecaéderecke bei Æ, ergänzen wir nun nacheinander die 
Ecken bei C und D. 
Legen wir zur Ergänzung der Ecke Æ eine Ebene durch OZ und £4, so 
schneidet diese die Ebene 4.7 und es entsteht bei 4 eine Ecke, welche einen 
   
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
   
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