die 
ld zu 
)nen 
ten 
tion 
tts; 
tück 
und 
ical- 
Pro- 
ten 
)ben 
1gen 
und 
eitet 
cher 
iben 
der 
urch 
WE 
der 
leise 
nitte 
lan 
gen. 
pitze 
jasis 
[ôhe 
WR 
Spur 
ical- 
$ 7. Das Prisma und die Pyramide. 591 
uc m S'C, yd — S'D, ye — S'E, yf — S'F so sind Xa, X2, Ec, Xd, Ee, X f, der Reihe 
nach gleich den Polkanten S4, SB, SC, SD, SE, SF der Pyramide. Bestimmen 
wir auf den Graden £a, 36 etc. die Punkte $, / à, &, / sm, so, dass sie dieselben 
Höhen über D''d haben, wie die entsprechenden Punkte G", 4", BU KS LME 
so sind ag, bh, ci, dk, el, fm die Kantenlängen der Pyramide, welche zwischen 
der Basis und der Schnittebene liegen. 
Construiren wir nun £44, = 3a, X90, — Z5, Loc = Ze, 3odo = Xd, Z969— Ze, 
XQf,— f und a,b, = AB, bc, = BC, cody = CD, de = DE, of — EF, 
fo, — FA, so ist 3,450909 do£, foa, die Ausbreitung der Seitenflächen der Pyramide; 
durch passendes Anhängen der Grundfläche wird das Netz vervollständigt. 
Machen wir a@,g,= ag, 0g — Öl, cul — ed, doky= dh, (yr ely Folly 
— fm, und hàüngen an den Perimeter ge yn, die Umlegung GH [ KLM, so 
haben wir damit auch das Netz des von E abgeschnittenen Pyramidenstumpfes 
hergestellt. ; 
4. Wir wollen zwei Polyéder 4 und Z in eine solche gegenseitige 
Lage bringen, dass sie einen Theil C des Raumes gemein haben, sich 
also durchdringen. Dann kann der Fall eintreten, dass das eine Polyéder, 
z. B. 4, in drei getrennte Theile zerfällt, nämlich in den beiden Polyédern gemein- 
samen Theil C und beiderseit an C anliegende von einander vôllig getrennte 
Theile D und Z. Die gebrochene Schnittfigur der beiden Polyéder besteht 
dann aus zwei vollstindig getrennten Zügen; der eine Zug bildet die Grenze 
zwischen C und 2, der andere die zwischen C und Æ. 
Das Polyeder B wird dabei im Allgemeinen nur in zwei getrennte Theile 
zerlegt, deren einer der gemeinsame Theil C ist. Entfernt man denselben, so 
erscheint das Polyeder Z durchbohrt; einige Kanten und Flächen sind völlig 
unterbrochen, an einigen Flächen fehlen nur zwei- oder mehrseitige Ausschnitte, 
einige Kanten und unter Umständen auch einige Flächen sind ganz unverletzt. 
Es kann aber auch der Fall eintreten, dass jedes der beiden Polyéder nur 
in zwei getrennte Theile zerfällt, deren einer der gemeinsame Theil C ist. Die 
Linie, in der sich die Polyeder durchdringen, bildet dann nur einen Zug, nämlich 
die zusammenhüngende Grenze des Theiles C und des übrigen Theiles von 4 
bez. von AB. 
Ausser den Kanten und Flichen in beiden Polyédern, die vollstándig unter- 
brochen sind, giebt es dann in 4 und B auch unverletzte Kanten und Fláchen, 
von denen nur Ausschnitte fehlen, unter Umstünden kann es auch ganz unver- 
letzte Flächen geben. Ausser diesen beiden Fällen werden wir noch Durch- 
dringungen kennen lernen, welche als Grenzfälle zwischen den soeben charakteri- 
sirten liegen. 
Wir wollen uns auf die Untersuchung von vier Beispielen beschränken, und 
construiren 1. die Durchdringung zweier Prismen; 2. die Durchdringung eines 
Prisma und einer Pyramide; 3. die Durchdringung zweier Pyramiden; während 
für diese Fälle aus der Natur der sich durchdringenden Polyéder besondere 
Constructionsweisen sich ergeben, wollen wir schliesslich 4. die Durchdringung 
zweier Tetraéder nach einer Methode construiren, die bei allen Durchdringungs- 
aufgaben anwendbar ist. 
5. Durchdringung des vierseitigen Prisma ABC Dabyà (I) und des 
dreiseitigen ZMNipy (I) (Tafel V). 
Die Durchdringung zweier Prismen I und II wird am einfachsten 
erhalten, indem man durch die Kanten des einen Prisma I Ebenen legt, die