646 Darstellende Geometrie, 
O'B ED, OB EP 
kann man das Spurendreieck ABC eindeutig construiren. 
Man mache B,0' normal auf einer Geraden B,C und gleich EP; 
ferner bestimme man 4 auf dieser Geraden so, dass O'4 — KD; auf den Ver- 
lingerungen von O'A und O'B, bestimme man 4, und B so, dass O'A,— KW, 
O'B— ED, und durchschneide AB, mit der Geraden BA, (in C); dann ist 
ABC das gesuchte Spurendreieck und O'A, O'B, O'C sind die Projectionen der 
drei Coordinatenachsen. Man sieht leicht, dass ABA, B ein Kreisviereck und 
daher BC normal zu A À, ist. 
Sind die drei Verkiirzungsverhiltnisse x':x, y':y, z':z gleich, so wird das 
Spurendreieck gleichseitig; die Achsenprojectionen bilden unter sich Winkel von 
120^; der Werth des Verkürzungsverháltnisses kann durch Construction und im 
Anschlusse hieran auch durch Rechnung bestimmt werden. 
Sind zwei Verkiirzungsverhiltnisse x': x und y' : y gleich, so wird das Spuren- 
dreieck gleichschenkelig; die Projectionen der X- und der Y-Achse liegen dann 
symmetrisch gegen die Projection der Z-Achse. 
5. Wir setzen im Folgenden voraus, 
  
2 dass die Projectionen O'X', O'Y', OZ, und 
| die zugehörigen Verkürzungsverhältnisse .be- 
| P kannt sind, und zwar letztere durch vier 
T Strecken 5, 7, 7, $ so, dass 
y | NS VEN 2e ris, 
HN T, e Sind nun die Coordinaten eines Punktes 
up gleich den gegebenen Strecken €, n, C so 
Yr m construire man §, 7, C' so, dass 
Bitmap nine gi Ui lemmas: 
(M. 334.) ferner mache man O'G, = E'; P,P parallel 
O'Y' und gleich «s; $$ parallel O'Z' und 
gleich £'; so ist P' die axonometrische Projection (d. h. die auf axonometrischem 
Wege bestimmte Normalprojection) des Punktes 2. 
Es ist kaum nóthig hervorzuheben, dass durch die Coordinaten eines 
Punktes wol seine Projection bestimmt ist, durch die Projection eines Punktes 
aber nicht umgekehrt seine Coordinaten bestimmt sind; ist aber die Pro- 
jection einer Coordinate z. B. P'$j, in der Figur angegeben, so ist 
auch der Punkt $3,, es sind also auch die Projectionen $$, und $9,0' 
der beiden anderen Coordinaten, mithin auch die Coordinaten des 
Punktes, also auch die Lage des Punktes gegen die Coordinaten- 
achsen eindeutig bestimmt. 
6. Bei axonometrischer Behandlung von Aufgaben der descriptiven Geo- 
metrie kommen die Spuren, welche Gerade und Ebenen mit der Projections- 
ebene bestimmen, nicht mehr in Betracht; statt deren berücksichtigt man die 
Projectionen der Spuren, welche auf den Coordinatenebenen liegen. 
7. Eine Gerade ist bestimmt, wenn man die Projectionen zweier ihrer Punkte 
P' und Q' und die Projection je einer Coordinate derselben, etwa ZB und Q'O 
kennt. 
Die Projectionen der auf den drei Coordinatenebenen liegenden Spuren 
findet man folgendermaassen: Man ziehe $2) und durchschneide damit P'Q'; 
der Schnittpunkt ,5,' ist die Projection der auf der O.X Y-Ebene liegenden Spur S,. 
Ferner stelle man die Schnittpunkte 4 und ZB her und ziehe durch diese Punkte