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4. Vom Radiciren. 55 
Ercérterungen folgende Darstellung in Betreff der aufgeworfenen Frage genügen: 
Jede itrationale Zahl kann nach dem Vorigen durch eine rationale Zahl @ annähernd 
: 1 
dargestellt, und letztere kann durch fortgesetzte Annäherung in a + ; de 
an+ 1 . ; : 
— ——— übexzgehend gedacht werden, wobei der letztere Ausdruck von der Irrational- 
72 = S 
zahl selbst um so weniger verschieden ist, je grósser z gedacht wird, und bei 
dem Wachsen von z bis in's Unendliche in diesen Ausdruck selbst als Grenze 
übergeht. Während also eine gebrochene Zahl 7 die Bildung von 4 Theilein- 
heiten aus der ursprünglichen ganzen Finheit verlangte, erfordert die Irrational- 
zahl eine Theilung der letzteren in unendlich viele gleiche, daher an Grösse 
unendlich kleine Theile der Einheit Eine solche Theilung kann nicht wirklich 
ausgeführt werden, denn sonst müsste dieselbe ein Ende haben, allein sie kann 
gleichwol ausgeführt gedacht werden. Weil aber die Erklärungen der Rechnungs- 
arten und die Ableitungen. der Gesetze für gebrochene Zahlen vóllig unabhüngig 
waren von der Grósse der Nenner, also von der Anzahl der Theile, in welche 
die Einheit getheilt gedacht wurde, so müssen sie auch gültig bleiben, wenn diese 
Anzahl bis in's Unendliche wächst. 
Denkt man sich beispielsweise eine Irrationalzahl durch einen Decimalbruch annähernd 
dargestellt, so muss die Anzahl der Decimalstellen des letzteren um so mehr zunehmen, je geringer 
seine Abweichung von der Irrationalzahl selbst sein soll. Die irrationale Zahl selbst könnte 
aber nur durch einen Decimalbruch von unendlich vielen Stellen angegeben werden. 
Obgleich es nun unmöglich ist, einen solchen zu schreiben, so kann doch die Existenz eines 
solchen gedacht, und es können auch solche Decimalbrüche unter sich oder mit endlichen De- 
cimalbrüchen addirt, subtrahirt, multiplicirt u. s. w. gedacht werden, indem man die gleich- 
stelligen Ziffern derselben bis in's Unendliche addirt oder subtrahirt denkt, u. s. w., ohne dass 
es nóthig wäre, diese Operationen wirklich auszuführen. Auch ohne dies lässt sich gewiss zu 
zwei unendlichen Decimalbrüchen ein dritter unendlicher Decimalbruch denken, dessen einzelne 
Stellen bis in’s Unendliche durch Addition der entsprechenden Stellen der beiden ersteren ent- 
stehen würden. 
Es mag übrigens hier besonders erwähnt werden, dass nicht jeder unendlich vielstellige 
Decimalbruch eine Irrationalzahl ist. Die periodischen Decimalbrüche sind gemeinen Brüchen 
gleich, also rational. 
8 98. Gesetze des Rechnens mit Wurzelgróssen. 
Die besonderen Gesetze des Rechnens mit Wurzelgróssen (und also auch mit 
Irrationalzahlen) ergeben sich leicht aus dem Begriff der Wurzel, bezw. durch 
Umkehrung der Potenzregeln. Auch für die Wurzeln aus Summen und Differenzen 
giebt es keine einfachen Umformungen. Dagegen kann eine Wurzel aus einem 
Produkt gefunden werden, indem man die einzelnen Faktoren mit 
demselben Exponenten radicirt und die entstehenden Wurzeln multi- 
plicirt, oder es ist 
N y— 4 4— yv À 
Vais Va VE (46) 
eine Regel, die sich leicht auf Produkte von beliebig vielen Faktoren ausdehnen 
lässt, und deren Richtigkeit sich daraus ergiebt, dass 
ur 7 —\7 N 7 NT—N / ar 
G a 6) = Va -yb = ab (nach (35) und (44)), 
also in der That die rechte Seite der Gleichung derjenigen Zahl gleich ist, deren 
Potenz mit 7 den Werth a hat. 
Der vorstehende Satz findet eine nützliche Anwendung zunächst zur praktischen