— 1. Eine 
n, da jede 
Basis 1 ist 
;garithmen. 
ch dann in 
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ergehenden 
in welchen 
elementare 
n Gebrauch 
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- Basis, wie 
er im Fol- 
len, welche 
ven Zahlen, 
~ og (—4) 
erwachsen- 
elle Zahlen, 
d vorausge- 
t reell, von 
Potenz einer 
e Annahme 
von Zahlen 
der anderen 
1 also a* = 
zwei Zahlen 
setzt, dass € 
ganze Zahl 
nen, sodass 
73 
5. Vom Logarithmiren. 
^ 10 
C » . . . . 
(= ) zwischen a? und aëf+1 liegt, danny = 8 + = setzen, und in dieser Weise 
fortfahren. 
Es sei beispielsweise x =2/og 7 gesucht, so hat man 920 — 1, 21 — 2, 2? — 4, 
x. x 
93 —=8, 24=16, u. s. w., also kann man 7 = 2% = 9? is 4.919 
y 10 
910 — Bb 9» — AL 
4 4 
7 10 ; 
setzen. Da nun (+) = 269,38... und 28 = 256, 29 = 512, so kann man 
5 .. 
y=8+ jg Setzen und erhält 
z 10 3 10 z 1 10 
$8 (7) ; sa ', 206; 2 = [5 ^ 256| t 
U 
folot; u.s. w. Es ist als 
jo 2 9 
9107 9,80... 
Auf diese Weise muss man für jeden derartigen Logarithmus einen Werth 
erhalten, welcher entweder eine ganze oder gebrochene Zahl ist, oder durch 
einen unendlich vielstelligen Decimalbruch dargestellt gedacht werden kann, 
also als irrational betrachtet werden muss. [Hris $ 56.] 
woraus wieder z = 0 + 
8 45. Rechnen mit Logarithmen. 
Für das Rechnen mit Logarithmen sind folgende Sätze von besonderer 
Wichtigkeit: 
Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Loga- 
rithmen der Faktoren. 
Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der Differenz der Lo- 
garithmen des Dividendus und des Divisors, 
Der Logarithmus einer Potenz ist gleich dem Produkt aus dem Ex- 
ponenten und dem Logarithmus ihrer Basıs, 
Der Logarithmus einer Wurzel ist gleich dem Quotienten aus dem 
Logarithmus des Radicanden (als Dividend) und aus dem Wurzelex- 
ponent (als Divisor), 
wobei jedesmal die Logarithmen für dieselbe Basis angenommen werden, oder 
in Formeln: 
*log (ab) = log a + *log 6 
  
a 
*log gm *log a — «log b (57) 
«log (a?) = b- *log a 
Le log 
log 1 à == = 2 
Diese Formeln können als Umkehrungen entsprechender Potenzregeln be- 
trachtet und bewiesen werden. So besagt z. B. die erste derselben nichts anderes, 
als dass der Exponent, mit welchem die Basis x potenzirt werden müsse, um 
&-b zu erhalten, gleich der Summe der Exponenten sei, mit welchen x potenzirt 
werden müsse, um a und 2 einzeln zu erhalten. In der That ist 
x log a+ "log b x Ver im hel oo gb, 
In entsprechender Weise gehen die drei folgenden Formeln bezüglich aus 
den Gleichungen (39), (40) im 8 32 und (48) im $ 38 hervor. 
Ist man im Stande die Logarithmen aller (reellen) Zahlen für irgend eine