6. Von den Gleichungen. 79 
II. Abschnitt. 
Die Gleichungen. 
Kapitel 6. 
Von den Gleichungen überhaupt und den Bestimmungs-Gleichungen ersten 
Grades insbesondere. 
§ 48. Eintheilung und Umformung der Gleichungen. 
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1. Jede Gleichung, deren Seiten unter allen Umständen einander gleich 
sind, die also bei vorkommenden unbestimmten Zahlen (Buchstaben-Grössen) für 
beliebige Werthe der letzteren richtig ist, heisst eine identische Gleichung 
oder eine Identität. So sind z. B. die Gleichungen 
dT 
aq, 
ferner äö+7=20—8, 
a+b=b+a 
(a — 0b). e— ac — bc 
und überhaupt alle im Vorhergehenden abgeleiteten Gleichungen, welche die 
als allgemein gülüg bewiesenen Gesetze der Arithmetik darstellen, identische. 
Dagegen ist z. B. die Gleichung a -4- 7 — 12 nicht für jeden beliebigen 
Werth von a, sondern nur für z — 5 gültig, und daher keine identische. Dasselbe 
gilt u. A. auch von der Gleichung x-r-y = 10, welche zwar für unzáhlig viele 
verschiedene Werthe von x und y, wie z. B. x — 1,y — 9 oder x = 9,J —8 oder 
X = 0,9, y — 9,5 richtig ist, jedoch nicht für alle für x und y zugleich willkürlich 
angenommenen Werthe gültig bleibt. 
Bei einer solchen nicht identischen Gleichung entsteht die Aufgabe, die- 
jenigen Werthe einer oder mehrerer von den in ihr enthaltenen unbestimmten 
Zahlen zu bestimmen, für welche die Gleichung richtig ist. Mit Rücksicht hier- 
auf nennt man eine solche Gleichung eine Bestimmungsgleichung, und die- 
jenigen Zahlen, für welche die bestimmten Werthe gesucht werden sollen, damit 
die Gleichung eine identische werde, heissen die unbekannten Grössen oder 
schlechthin die Unbekannten der Gleichung. Man bezeichnet die letzteren in 
der Regel durch die letzten Buchstaben, x, y, z, des Alphabets. 
Diejenigen Werthe einer Unbekannten, welche einer gegebenen Bestimmungs- 
gleichung genügen, werden die Wurzeln der letzteren genannt. Das Aufsuchen 
dieser Wurzeln nennt man das Auflósen der Gleichung. 
2. Aus jeder gegebenen Gleichung, sie sei eine identische oder nicht, kann 
man durch Vornahme gleicher Operationen auf beiden Seiten neue Gleichungen 
ableiten, welche im Wesentlichen denselben Inhalt, wie jene haben und denselben 
nur in verschiedenen Formen darstellen. Solche Gleichungen kann man der 
ersten und unter einander congruent nennen. Die wichtigsten derartigen Um- 
formungen sind folgende: 
a) Aus dem Grundsatze »Gleiches zu Gleichem addirt, giebt Gleiches,« 
folgt, dass man zu beiden Seiten einer jeden gegebenen Gleichung gleiche 
Glieder addiren darf. Addirt man insbesondere zu beiden Seiten ein Glied, 
welches auf einer Seite bereits durch Subtraction verbunden vorkommt, so fällt