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Trügheitsellipsoid. 93
Hierzu dienen die auf das im Raume feste £5 C System bezüglichen Gleichungen (15b),
in welchen für unseren Fall die rechten Seiten Null sind. Integrirt man. die-
selben mit Rücksicht auf (17), so erhált man
4, Pp + 49 QG + 43 Rr = À,
B1 ZP + Ba @9 + B3 A7 = B,
T1 PP + 12 2 + 73 Fr — C
wo ABC Constanten sind; hieraus folgt, dass Pp, Qg, Rr, als rechtwinkelige
Coordinaten im xyz-System betrachtet, demselben Punkt angehôren, wie ABC
im EnC-System, d. h. einem constanten Punkt. Wählt man die Linie vom Anfangs-
punkt nach diesem Punkte zur C-Axe, so wird 4 — 0, 2—0, C— y a? + R? c2,
Die obigen Gleichungen geben dann, geeignet combinirt:
; P Y Og . on Rr
nm Pe Ba Via IA CR a
und hieraus findet man endlich
To
d=arccosy;,, = Arc ue)
1
MA BEN DU UL Ber isin amp (AM a)
= JV? gp Are P?a? + R? c? 42 sin? amp(\t + p.) e
der letzte der drei bestimmenden Winkel ist hiernach ein elliptisches Integral
dritter Gattung.
Setzt man ^, nnd 4,, also auch & unendlich klein, so gelangt man zu dem
Fall, dass im Anfange der Bewegung die Drehungsaxe unendlich wenig von der
z-Axe abweicht. Man findet dann
p= acos (hi + p.), g=20bsin(\t+p), r=c y 1 — x3 sin? (A? 4- y),
; PaM[P. DP—Q. .
sin? 9 = RS (à up OR sin? (Mt + ») ;
Qo
V — peu» ¢=1q--ct+ const.
Die oben durchgeführte Constantenbestimmung führt nun nur dann zu brauch-
baren Werthen derselben [s. oben Gleichung (18), wenn festgesetzt wird, dass Q
seiner Grösse nach das mittlere von den drei Trigheitsmomenten POR sei.
Die eben gefundenen Formeln zeigen daher, dass die Axe des grössten oder
des kleinsten Hauptträgheitsmomentes, wenn sie der Drehungsaxe anfangs un-
endlich nahe war, dies immer bleibt. Die Annahme 2, und z, unendlich klein
führt dagegen zum entgegengesetzten Ergebnis, d. h. wenn der Kórper um eine
Axe sich dreht, welche seiner mittleren Hauptaxe unendlich nahe ist, so entfernt
sich jene von dieser im Laufe der Zeit mehr und mehr. Man überträgt die
Ausdrücke stabil und labil häufig vom Gleichgewicht auf die Bewegung; im
vorliegenden Falle kann man dann sagen: die Rotation um die grösste sowohl
als um die kleinste Hauptaxe eines Körpers ist stabil, seine Rotation um die
mittlere Hauptaxe ist labil.
Für einen Rotationskórper wird P— Q, also x — 0, und man findet
p=Vp& +qRcos( +p), 9= V6 + g@sinOt+p_), r=r,
also die letztere Drehungscomponente constant; ebenso wird von den Winkeln 9
constant, und dq lineare Funktionen der Zeit,
Weit complicirter wird natülich das Problem, wenn Kräfte wirken, also
insbesondere die Bewegung eines der Schwere unterworfenen starren Körpers.
Für einen Rotationskörper mit vertikaler Axe bleibt dann die eben gefundene
Gleichung. 7 — const. giltig, dagegen werden die Winkel elliptische Funktionen der
