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Brachistochrone. 115 
curve fallende hat aber den kürzeren Weg und kommt folglich eher unten an. 
Legt man nun den Nullpunkt des Coordinatensystems in den tiefsten Punkt, 
während der höhere um % höher liegt, richtet man die z-Axe vertikal nach 
unten, die x-Axe horizontal, so hat man für irgend eine Höhenschicht z nach 
der zweiten Gleichung (2c) die Geschwindigkeit 
ex s 
v= y 24 (4 — z) E 
wo ds das Bogenelement, Z/ das Zeitelement ist; folglich ist die Fallzeit 
r= fortis (h—2) - f Vis 
Dieses Z' soll nun ein Minimum werden. Die Variationsrechnung lehrt, dass 
dies erreicht wird, wenn der Differentialquotient der Funktion unter dem Integral- 
zeichen nach x' einer Constanten c gleichgesetzt wird. Man erhàlt somit 
Si DL E also x!z _2c%(h—z) CR. 
Y1+4 22 Var) 1—328g(6—z)' 
und schliesslich, wenn für z — À x =x, sein soll: 
  
  
1 
X = oir VO) — 92628 (A — 2)? 3c ds arc cos [1 — 4c?g (h — z)] -- 2,5 
€ 
durch die Bedingung z — 0 für x — 0 bestimmt sich c. Diese Gleichung stellt 
eine Cycloide dar, welche durch einen auf der unteren Seite einer horizontalen 
Geraden rollenden Kreis von einem Peripheriepunkte desselben erzeugt wird; die 
complicirte Form der Gleichung erklärt sich dadurch, dass der Nullpunkt zwar 
der tiefste Punkt des vom Kórper durchlaufenen Cycloidenbogens, aber kein aus- 
gezeichneter Punkt der Cy- 4 
cloide als solcher ist; aus 
der Fig. 32 ist dies ohne 
Weiteres ersichtlich.!) 
Man sieht hiernach, 
dass die gerade Linie zwar 
räumlich die kürzeste Ver- 
bindung zwischen den bei- 
den gegebenen Punkten ist, 
nicht aber der zeitlich kür- 
zeste Fallweg; schon ein 
zwischen den Punkten ge- 
zogener Kreisbogen, nach oben concav, ist ein kürzerer, der kürzeste von allen 
aber der oben gefundene Cycloidenbogen. Man kann diese Verhältnisse leicht 
an einem Apparat demonstriren, der auf einem Stativ drei dicht nebeneinander 
anfangende und endende Rinnen trügt, eine von geradliniger, die zweite von 
kreisbogenfórmiger, die dritte von cycloidischer Gestalt; von drei oben gleichzeitig 
ausgelósten Kugeln kommt dann erstere zuletzt, letztere zuerst unten an; zu 
weiteren Versuchen sind die Rinnen gewóhnlich gemeinschaftlich um eine hori- 
zontale Axe drehbar. 
  
(Ph. 32.) 
Tautochrone. Ein dem obigen verwandtes Problem betrifft die Er- 
mittelung einer Curve von der Eigenschaft, dass ein Kórper, um bis zu ihrem 
7) Weiteres über dieses und verwandte Probleme s. HATON DE LA GOUPILLIÈRE, Compt, 
Rend. 84, pag. 72, u. 83, pag. 143 u. ausführlicher Mém. Inst. 22, pag. 1 (1884). 
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