ERBACH. 
Mathematisches Pendel. 
Pendel. 
Uebersicht. Der Begriff Pendel in seiner allgemeinsten Bedeutung um- 
fasst diejenigen Apparate, bei welchen ein Körper um einen festen Punkt (oder 
eine feste Axe) beweglich ist. Beim einfachen oder mathematischen Pendel 
besteht dieser Körper lediglich aus einem materiellen Punkte, welcher der Schwere 
unterworfen ist, und aus einem gewichtslosen Faden, welcher die Verbindung 
des schweren mit dem festen Punkte herstellt. Dieser Faden wird in den meisten 
Fällen als undehnbar und unbiegsam angenommen, so dass er eine grade Linie 
von constanter Lünge darstellt, und alsdann kommt seine Bedeutung darauf hin- 
aus, dass der schwere Punkt dem Zwange unterworfen ist, trotz der Wirkung 
der Schwere auf einer Kugelfláche zu bleiben. Dieses Pendel heisst deshalb sphàá- 
risches oder, in Rücksicht auf den geometrischen Ort des Fadens, konisches 
Pendel. Ein besonderer Fall desselben ist das ebene oder Kreispendel. Dem 
gegenüber setzt z. B. das Cycloidenpendel einen zwar immer noch undehn- 
baren, aber biegsamen Faden voraus. Die Art der Bewegung, welche der schwere 
Punkt eines sphärischen Pendels ausführen kann, ist eine sehr mannigfaltige; 
sie geht z. B. beim Centrifugal- oder Horizontalpendel in einer horizontalen 
Kreislinie vor sich. Dagegen handelt es sich beim ebenen Pendel nur um zwei, 
durch einen Uebergangsfall getrennte Bewegungsarten: um Schwingungen oder 
Rotationen; erstere hat man gewöhnlich im Auge, wenn man vom Pendel im 
engeren Sinne des’Wortes spricht. In der Wirklichkeit kommt niemals ein 
mathematisches Pendel, sondern stets ein physisches Pendel in Betracht. 
Die Theorie desselben ist natürlich viel verwickelter, führt aber grade in Bezug 
auf eine der wichtigsten Fragen durch Vergleichung mit: dem mathematischen 
Pendel zu praktisch verwerthbaren Ergebnissen. Den Pendeln mit unifilarer 
stehen die mit bifilarer Authángung, deren Theorie eine selbstündige ist, gegen- 
über. Von besonderem Interesse sind schliesslich noch zwei Einflüsse: der des 
Luftwiderstandes und derjenige der Erddrehung. 
Mathematisches Pendel. Die z-Axe des rechtwinkligen Coordinaten- 
systemes sei vertikal nach unten gerichtet, / sei die Zeit und / die Fadenlänge; 
der Zwang ist alsdann durch die Gleichung 
FG, y, 3) = x? + y? + 22 — 2-0 (1) 
ausgedrückt, und folglich lauten die Bewegungsgleichungen, wenn }i der unbe- 
stimmte Multiplikator ist (s. Art. »Dynamik«, pag. 67), 
Pu. 1 of ur) dy 1 of ) 
ETI ABET IY 
d?z ].. 6f (2) 
Aus (1) folgt 
xdx + ydy + zdz = 0, 
und aus dieser und (2): 
dat + dy* + dat (2gez 4- C) ar? (3) 
(C eine willkürliche Constante); andererseits erhált man aus (2) allein 
x dy —ydx = cdt (4) 
(c eine zweite willkürliche Constante). Die Gleichungen (3) und (4) nehmen, wenn 
man mittelst der Gleichungen 
x = (sind cos, y=sindsine, z= 1Icos} (5) 
WINKELMANN, Physik. I. II