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id. Epitome 
Ableitung des NEWTON'schen Gesetzes. 
Sonne und Planeten hat, und zwar nach der Sonne zu, dass sie also eine An- 
ziehungskraft ist; aus dem ersten folgt, dass sie dem Quadrate der Entfernung 
zwischen Sonne und Planet umgekehrt proportional ist; aus dem dritten endlich 
folgt, dass sie der Masse des betreffenden Planeten direkt proportional ist. 
a) Angenáherte elementare Ableitung. Es sei ,S (Fig. 69) die Sonne, 4.5 
die vom Planeten in einem kleinen Zeittheilchen zurückgelegte Strecke, AC die 
gleich grosse Strecke, welche er im zweiten Zeit- 
theilchen in derselben Richtung zurücklegen 
würde, wenn er nicht durch eine Kraft aus dieser 
Richtung abgelenkt und somit, statt nach C, nach 
D gelangte. Nun sind die Dreiecke S AB und 
SBC aus geometrischen Gründen, die Dreiecke 
SAB und S B D nach dem zweiten KEPLER'schen 
Gesetze einander gleich, also auch die Dreiecke (Ph. 69.) 
SBC und SED; es liegen folglich ihre Spitzen 
C und D in einer zur Grundlinie SB parallelen Linie. Hiernach ist BD die 
Resultante von B C und einer Linie BZ, welche in die Richtung B.S fillt. Erstere 
entspricht dem Beharrungsvermógen, letztere der ablenkenden Kraft. Dieselbe 
ist also nach der Sonne gerichtet. ; 
Ferner ist in Fig. 2 das Dreieck SPQ =1s- 
rcos rp, wo s die kleine Wegstrecke und p die Ellip- 
sennormale ist. Ist c eine Constante und # das 
Zeittheilchen, in welchem s zurückgelegt wird, so ist 
nach dem zweiten KxPrER'schen Gesetz 
sz cos(rp) — c£. 
Nun ist (s. Art. »Dynamik« pag. 75) die centri- ; 
petale Beschleunigung i A dati 
G 2 eL (5) = 1€ = (Ph. 70.) 
p p V pr2cosdrp’ 
wo 7 die Geschwindigkeit ist und die bisher nur der Richtung nach definirte 
Grósse p nunmehr der Grósse nach den Krümmungsradius darstellt. Für die 
beiden Endpunkte der grossen Axe, 44, ergiebt sich hieraus unmittelbar 
G:G = + od 
3° 72) 
ni RES 
  
  
Für die übrigen Punkte ergiebt es sich, wenn man berücksichtigt, dass bei 
der Ellipse die Beziehung o «0s? rp — const gilt. 
Für zwei verschiedene Planeten endlich hat man nach Obigem 
= 7? vg? 
G : G, == : À. ) 
y 
also, wenn mittelst der Gleichungen 7 — 27z/7' und v, = 27x/74 die Umlaufs- 
zeiten Z' und 74 eingeführt werden, . 
7 7 
; e. a: 
G:G,-— 7a : T 
Nun ist aber nach dem dritten KrEPrLER'schen Gesetze 
Va 11 = 1975; 
folglich ergiebt sich 
GG, = — 
14 
2% xL : 
Die umgekehrte Proportionalitit mit dem Quadrat der Entfernung gilt also 
nicht bloss für die verschiedenen Sonnenabstünde eines und desselben, sondern