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Stehende Schwingungen.
geringer als die der einzelnen Welle, und zwar bei bestimmten Annahmen, wie
Rzvworps!) durch Betrachtung der potentiellen und kinetischen Energie gezeigt
hat, halb so gross. Allgemeiner erhült man, wenn man mit RavreicH?) den be-
grenzten Zug durch Interferenz zweier unbegrenzter von etwas verschiedener Wellen-
lünge entstanden denkt, die Beziehung (7 Zug-, ? Wellengeschwindigkeit, 4 — 2 z/A)
y
2
__ dv) ? (, ARA
dk 2
gae E e-3kA
also für kleine % oder kleine à wie bei Rrvnorns V= jv.
Wesentlich andere Erscheinungen als die bisher betrachteten fortschreiten-
den Wellen bieten die stehenden Schwingungen oder stehenden Wellen dar
(s. Art. WellenlehreJ. Ebene Wellen dieser Art sind für gleichmàássige Tiefe, also
horizontalen Boden des die Flüssigkeit enthaltenden Gefässes oder Canals (dessen
Axe die Wellenkümme parallel sein sollen) von Sr. VENANT?) und Andern, für
geneigte Bóschungen von KiRcHHorr^) und in etwas anderer Art von GREENHILL ?)
behandelt worden; auch sehe man eine nach MERIAN von VONDERMUHLL bear-
beitete Untersuchung?) Die Gleichungen führen in diesen Féllen zu Werthen
für e, welche einen willkiirlichen ganzzahligen Parameter enthalten und somit eine
ganze Reihe móglicher Schwingungen (entsprechend Grundton und Obertónen
in der Akustik) darstellen. Für den rechteckigen Trog (Sr. VENANT) ergiebt sich,
wenn z der Parameter ist, allgemein (z vertikal vom Spiegel aus, x quer)
Zz
© = > (4 OST
hn
i" HI
I INR
i
Il
|
|
|
|
|
Xt
(Ph.:156.)
; Z n(h—z)_
On + B, sin is] e & “+e
n
H
aie.) nx
T 6 cos x T,
wo A und 2 Tiefe und Breite des Troges, 7, die
Schwingungsdauer und die 4 und B Coëfficienten
sind, die sich als FOURIER'sche Integrale aus dem
gegebenen Anfangszustande bestimmen. Für z—1
und 4, — 0 erhült man den Werth von ¢ fiir die
Grundschwingung
pup h-z Es X
q — Csin 27 eT 40 2" cos 5
und hieraus die Erhebung, also auch die Gestait
0
der Oberfláche nach der Formel 1/2 ee In Fig. 156
sind die Wellen-, Niveau- und Stromlinien zu irgend
einer Zeit dargestellt. Für den KrRCHHOFF'schen
Fall, und für eine Bóschung von 45°
n? 5?
zwar
Neigungswinkel ergiebt sich, wenn a? = ge-
charakterisirte
c
setzt wird, fiir die durch x
Schwingung:
o — C [e—^* (cos ax: — sin aa) + e^ (cos as — sin az)) sin nut.
Sind zwei Bóschungen vorhanden, jede von 45? Neigung, so erhált man den
Fall eines keilfórmigen Troges und als Grundschwingung:
1) REYNOLDS, Nature 16, pag. 343. 1877.
2) RAYLEIGH, Lond. Math. Soc. 9, Nr. 125. 1879.
3) Sr. VENANT, Compt. Rend. 73, pag. 521 u. 589. 1871.
4) KIRCHHOFF, Berl. Ber. 1879. Ges. Abh., pag. 428.
5) GREENHILL, Am. J. Math. 9, pag. 62. 1887.
6) VONDERMUHLL, Math, Ann. 27, pag. 575. 1886.
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