448 Wirbelringe. 
erhält man die gemeinschaftliche Rotation aller Theilchen mit der Winkel- 
geschwindigkeit C. 
Wirbelringe. Es seien beliebig viele kreisförmige Wirbellinien resp. Wirbel- 
fäden vorhanden, deren gemeinsame Axe die z-Axe sei. Jedes Flüssigkeitstheilchen 
bewegt sich aldann in einer durch die z-Axe gehenden Ebene, und sein Ort ist 
bestimmt durch die beiden Coordinaten p=Vx? +y? und z, während die dritte 
Coordinate, der Meridianwinkel 9, eine für es charakteristische Constante ist. 
Auch die gegebenen Wirbelcomponenten kann man in Polarcoordinaten 
= 050, n= 06088, 7-0 
ausdriicken, während man die zu ermittelnden Geschwindigkeitscomponenten ##w 
zweckmässig durch Cylindercoordinaten 
u=3sc0sY, v=ssindb, WW 
ersetzen wird, so dass s = dp/dt und w = dz/dt wird. Die Rechnung zeigt, dass 
W=0 wird, und man erhält das Resultat 
soc n mo (90) 
03 P 0p ? 
1 / 9 
Sg f [ov av ann, R= 2 IG -5)2-12] 
ó Veo LA^ k 
ist und Z, und Z, die beiden elliptischen Integrale erster und zweiter Gattung 
mit dem Modul 
WO 
  
  
es V BU MES 
E Qc 8) deo sio 
bedeuten ; die gestrichenen Zeichen beziehen sich auf einen Punkt des Integrations- 
raumes, die ungestrichenen auf den Punkt, für den s und zv gefunden werden 
sollen. Die kinetische Energie findet sich, wenn Z/ und Z/' die Querschnitte 
der Wirbelfäden sind: 
K = 27 fSp sdf = f/Rpp'ac'dfdf; 
sie ist der Zeit nach constant. Endlich seien noch die beiden wichtigen 
Gleichungen angegeben : 
Jo2o df = const Jit su) po df= p= const. 
Specielle Fille: 1) Ein einziger Wirbelring.  Derselbe habe einen 
unendlich kleinen Querschnitt, und zwar sei die Lineardimension unendlich klein 
erster Ordnung; ist dann die Intensität m= [cdf des Wirbelringes endlich, so 
muss c unendlich gross von der zweiten Ordnung sein. In diesem Falle wird 
näherungsweise 
Bed RE oen ui 
1 5 y à 2 97 
wo bei der Náhe aller Punkte p — o' und der Abstand à gesetzt wurde. Es 
wird daher .S, und folglich auch .K im Innern des Wirbels logarithmisch unend- 
lich gross, dagegen werden s und = unendlich von der ersten Ordnung. Da es 
im wesentlichen auf die Bewegung des Ringes als ganzen ankommt, führe man 
die Grössen so und æ', mittelst der Gleichungen 
sè fodf=fs?sdf  w, [o2edf = fwe? sd/ 
ein; man findet dann, wenn man endliche Gróssen gegen logarithmisch unend- 
liche vernachlässigt: 
2 X 
$9— 0 pF Wy = E const. 
  
  
  
  
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THC 
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