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Theorie von GAUSS. 491 
Nur die ersten mit ¢ behafteten Glieder kommen zweimal vor, nicht auch 
die mit ® multiplicirten, weil die Massen M festliegen. 
Die Massen sollen den Stamm continuirlich erfüllen. Nennt man 7 und À 
Volum und Dichte der Flüssigkeit, V" und % Volum und Dichte des festen 
Kórpers; bezeichnet mit du und dv' Volumelemente, mit (dv dw') den Abstand 
zweier Volumelemente, so ist 
9 — — gp fsdv + 44? f fdv dv' e (dv dv") + kW Jdv dV® (du dv). 
43) Die 6fachen Integrale erstrecken sich das eine Mal über zwei getrennte 
Räume, das andere Mal über zwei Räume, welche zusammenfallen. Gauss führt 
diese 6fachen Raumintegrale auf 4fache (Oberflächenintegrale) zurück. Wir wollen 
den Weg nur andeuten. Er zerlegt zu dem Ende in der auch sonst von ihm an- 
gewendeten Weise den Raum um einen Punkt p. herum in kleine Kegel von dem 
Oeffnungswinkel Zl; schneidet ein solcher Kegel aus der Oberfláche ein Stück 
di heraus im Abstand 7 und ist 4 der Winkel, den die Oberflächennormale mit 7 
; : dt cos : AUS 
einschliesst, so ist dll = = 72 d wo das + oder — Zeichen gilt, je nach- 
  
dem der Strahl » durch die Oberfliche in den Raum ein- oder austritt. Handelt 
es sich z. B. um das dreifache Integral 
fd? vs dv), 
und liegt p. innerhalb des Raumes 2; schneidet der Strahl die Oberfláche in 
den Abstünden (p, 4v)-— 7, p, 6 etc, so liefert ein solcher Kegel zu dem 
Integral den Beitrag - = 4 
"n | ec rèdr + er) r2 dy + . | ; 
40 z" 
da du = dll »2 dr ist. Setzt man 
fe@ rt dr = — 40), 
so wird der Beitrag daher 
al (9(o) — $(r') - 907) — - + 
: dt' cos g' y (7 dt" cos q" cosy (r" 
— dM - b(o) + [e ch CET 9o +. | ; 
Bei der Integration durch alle Kegel, welche den Punkt p. umgeben, würde 
das erste Glied den Gesammtbeitrag 4 - q(v) ergeben, wenn der Punkt im Innern 
der Masse liegt. Geht man nun weiter zum 6fachen Integral fav fd e (p, dv), 
wo do' das Volumelement im Punkt p. bedeutet, so entsteht daraus der Werth 
2-4x-q(0) wenn v das ganz Volum der Masse bedeutet, welcher der Punkt j. 
angehört. 
44) Indem GAUSS so in aller Allgemeinheit die Ausdrücke verfolgt, findet er 
für Q die folgende Form: 
Q = — gk fadv + 42°. A7: vy(o) — 4x2? 75(0) 4- ££ T'8(o) 
1 dt' cos q'Ÿ(r) 
+2 farcsof (dt, dt)? 
ly dT cosQ -8(7) 
+3 wp fats af dadTR —