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Anwendungen der Gauss'schen Theorie. 
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Bezeichnet man die freie Oberfläche der Flüssigkeit mit U, so ist 
t=Um+T, 
und daher 
M = fa dv + (a? — 28?) Z + «2 U. 
Ueber eine Vergleichung des Ausdruckes für Constanten, welche in den 
Theorien von LAPLACE, PoIssoN und Gauss auftreten, vergl. WEINSTEIN!). 
VIII. Anwendungen der Gauss’schen Theorie. 
46) Capillarrohren. Wenn J ein Minimum sein soll, so muss die Variation 
von M + Av gleich Null sein, mit der Nebenbedingung, dass die Variation von 7 
verschwinde; X ist eine später zu bestimmende Constante. 
Wir lassen zunächst die freie Oberfläche U allein eine unendlich kleine 
Variation erleiden, während die Conturlinie dieselbe bleibt, d. h. während die 
benetzte Wandfläche 7° ungeändert bleibt. 
Betrachtet man in einer Oberfläche U ein unendlich kleines Rechteck dw, 
welches durch zwei Krümmungslinien (Normalschnitte) begrenzt ist, so schneiden 
die Normalen, welche durch den Umfang von dw gelegt sind, auf einer um die 
sehr kleine Grösse & entfernten Oberfläche ein unendlich kleines Oberfláchen- 
element aus, welches ist 
; 1 1 
dw + dw R == E £, 
wenn A und Æ' die Krümmungsradien der Oberflüche in den beiden Normal- 
schnitten bedeuten. Dieser Satz ergiebt sich aus einer sehr einfachen geo- 
metrischen Ueberlegung. Daher ist die Variation von a? U 
à (a? VU) = aftu (z d x) e 
Was die Variation von fadv betrifft, so ist dieselbe, da im Inneren der 
Flüssigkeit alle z ungeändert bleiben, 
0 fz dv = [Zedw, 
wenn z den Werth von z an der Oberfläche bedeutet. 
Endlich ist die Variation von 2 
07 = [edw. 
Daher muss sein 
1 1 € 
[edu |^ £ +x) ++i] =0 
und da die Gleichung für beliebige Werthe von e gelten soll, so muss sein 
2 3; d. = » — 0 
a 17 + RR 2A A=U, 
1) WEINSTEIN, WIED. Ann. 27, pag. 544. 1886.