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zu ordnen. 
    
Gleichgewicht eines Fadens. 63 
süámmtlich willkürlich, man kann z. B. alle bis auf eins gleich Null setzen, und 
es muss daher dessen Faktor, und in analoger Weise alle andern Faktoren für 
sich verschwinden. Man erhält somit die neun Gleichungen: 
dx dy dz 
n-(x)-9 n-(2) = lm) 
dx dy dz 
X; + (x 2) = 0, Y, + (x 2) - 0, Ze + (x A) - 0, 
d d 
xis — a.) 0 vas — (A2) — o zia) -o (88) 
(37) 
ds ds 
von denen die sechs ersten die Grenzbedingungen, die drei letzten die Haupt- 
gleichungen des Problemes darstellen. Es ergiebt sich nun auch unmittelbar die 
physikalische Bedeutung des Multiplicators A. Es ist nàmlich XZs die X-Com- 
ponente der auf 4s wirkenden äusseren Kraft, es muss also d (Adx/ds) die jener 
Kraft das Gleichgewicht haltende .X-Componente der Spannung von Zs sein. 
Diese X-Spannung ist nun das Resultat des Umstandes, dass die + X-Spannung 
an dem einen Ende von ds etwas grösser ist, als die — X-Spannung am 
anderen Ende und zwar um das Differential der letzteren. Die X-Componente 
der Spannung in einem Punkte des Fadens ist also — AZx/Zs und folglich die 
gesammte Spannung in diesem Punkte gerade — A. Man erkennt wieder auf's 
Deutlichste die physikalische Bedeutung der LAGRANGE'schen Methode: Der Faden 
kann sich nicht ausdehnen, dieser Zwang ruft Spannung hervor und diese Spannung 
findet ihr Maass in dem LAGRANGE'schen Multiplikator. 
Schreibt man jetzt S für À und führt die zweiten Glieder der Gleichung (38) 
aus, so erhält man 
f 
Yds + qst s sati —0, (39) 
dz 
Zds-- dst --- S47- == 0. 
Diese drei Gleichungen sind unmittelbar geeignet, um die.beiden gestellten 
Aufgaben zu lósen. Multiplicirt man die erste derselben mit Zy/4s, die zweite 
mit Zx/ds und zieht die zweite von der ersten ab, so heben sich die mittleren 
Glieder fort; bringt man dann die letzten Glieder nach rechts und dividirt die 
ganze Gleichung durch den Faktor von .S, so erhült man einen der Spannung S 
gleichgesetzten Bruch. Zwei ebensolche Brüche erhält man aber auch, wenn 
man die analoge Operation mit der zweiten und dritten, sowie mit der dritten 
und ersten der Gleichungen (39) ausgeführt, man kann also alle drei Brüche 
einander gleich setzen und findet: 
  
  
dy dx dz dy dx 
Ex Yos Yd d £5 xe (40) 
dx dy dy d dy ds de ty "ds d dx dec 
ds ds ds ds ds “ds ds” ds ds ds ds ds 
Dies sind die beiden Gleichungen der Curve, welche der,Faden bildet. : 
Es handelt sich nun noch um die Ermittelung der Spannung. Multiplicirt 
dx ‘dy A 
man nun die Gleichungen (39) resp. mit P 45 47. und addiert sie, erwágt man, 
dass das zweite Glied verschwindet, weil der Faktor von Z5 
m dx gi dy dz dz dx dy? dz\*| _ 
d di der a (2) +(2) + (5) y=