Grundlagen und Grenzen der möglichen Erweiterung. 99 
geöffnete Strahlenbüschel oder die eines grösseren Objektes durch relativ 
enge Büschel vermittelt. 
Es mag aber gleich hier bemerkt werden, dass wir auch bei den nach dieser 
Richtung hinzielenden Bestrebungen auf Grenzen stossen, die unüberschreitbar 
sind. Je weiter wir versuchen, in der einen Richtung die Beschränkungen der 
Abbildung zurückzuschieben, um so enger sind sie dann stets in anderen 
Richtungen. Je weiter die Oeffnung der abbildenden Büschel sein soll, desto 
enger wird, nach der Seite und in der Tiefe, das Gebiet des gleich vollkommen 
abbildbaren Raumes, desto mehr ist die Abbildung beschränkt auf singuläre 
Stellen des Raumes und umgekehrt Die Bemühungen der Theorie und Praxis 
können dahin gehen, sich diesen durch die Natur der Brechung und der Kugel- 
flächen gesetzten Grenzen möglichst zu nähern, aber es ist — das kann mit 
Sicherheit ausgesprochen werden — auch theoretisch unmöglich, mit den Mitteln 
der Dioptrik Abbildungen herzustellen, welche von jener idealen Vollkommenheit 
sind, die wir in unseren Berachtungen über die allgemeine collineare Abbildung 
voraussetzten — Abbildungen eines beliebig grossen Raumes durch beliebig 
weite Büschel. Es sei denn, dass wir, auf jeden eigentlichen optischen Effekt 
verzichtend, uns mit einer blossen Umlagerung des Bildraumes gegen den 
Objektraum begnügen, ohne jede weitere Veränderung desselben. Diesen letzteren 
Effekt liefert uns, wie wir früher sahen, die Spiegelung an Ebenen, ohne Ein- 
schränkungen irgend welcher Art. 
Die Erweiterung der Abbildung kann, wie schon bemerkt, nach zwei Rich- 
tungen hin geschehen: erstens dahin, dass die Oeffnung der abbildenden 
Büschel eine möglichst weite wird; zweitens dahin, dass möglichst grosse 
Objekte abgebildet werden. Die erstere Aufgabe kommt ersichtlich darauf 
hinaus, die von ein- und demselben Punkte ausgehenden, innerhalb eines end- 
lichen Raumwinkels liegenden centralen und schiefen Elementarbüschel durch 
geeignet angeordnete Spiegelungen oder Brechungen so zu modificiren, dass sie 
sämmtlich zuletzt wieder nach demselben (Bild-) Punkte convergiren. Bei der 
letzteren wird es sich zunächst nur darum handeln, in den einzelnen relativ 
engen Büscheln, die von verschiedenen Punkten eines Objekts ausgehen, 
wenigstens den Astigmatismus aufzuheben, um überhaupt eine eindeutige scharfe 
Abbildung mittels räumlicher Büschel zu erhalten. Diesen Anforderungen 
werden wir jedoch alsbald noch weitere nothwendig zu erfüllende beigesellen 
müssen. 
Wir wenden uns der nüheren Betrachtung dieser beiden Aufgaben zu. Um 
ihre Lósbarkeit zu übersehen müssen wir, namentlich den erstgenannten Punkt 
noch genauer studiren, als wir es bei der früheren Gelegenheit gethan haben; 
nämlich die im Allgemeinen mangelnde Homocentricitát der von einem axialen 
Punkte innerhalb eines endlichen Winkelraums ausgegangenen Strahlen nach 
der Spiegelung oder Brechung an centrirten Kugelflächen, den sogen. »Kugel- 
gestaltfehler« oder die 
Sphárische Aberration für Axenpunkte. 
Wir haben früher gesehen, wie der Weg eines Strahls analytisch bei der 
Brechung an einer Kugelfláehe zu bestimmen ist. Wir fanden (pag. 69) zwischen 
den Abstünden s, s' des Objekt- und Bildpunkts vom Scheitel S der brechenden 
Fläche und denen vom Einfallspunkt P, ? und ?' die Beziehung 
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