Definition des Potentials. 7
dt : : s :
c. gleich 0 bleibt auch für » — 0, weil Z« unendlich klein von der dritten
Ordnung ist, so bleibt auch X YZ endlich, d. h. die Kraft, mit der ein solcher
mit Masse erfüllter Korper auf einen seiner eigenen Punkte einwirkt, ist endlich.
Das Potential war bisher eingeführt nur für die NEwToN'sche oder CoULOMB-
m . e ; : :
sche Kraft: ur und definirt als diejenige Grosse, deren negativer Differential-
quotient nach irgend einer Richtung gleich der Kraftcomponente nach dieser
Richtung ist. Wir können diese Definition erweitern und sagen: Jede Kraft hat
ein Potential, wenn sich ihre Componenten nach 3 Coordinatenrichtungen dar-
stellen lassen als die Differentialquotienten einer Funktion nach diesen Richtungen.
Also immer wenn — für die Einheit der Masse der angegriffenen Punkte —
QU QU gU
dede Ymcme Zt
ist, hat die Kraft ein Potential, auch wenn die Kraft nicht die NEwrToN'sche oder
CouLoMsP'sche ist. Man kann daraus ersehen, dass stets, wenn eine Kraft zwischen
zwei Punkten nur abhángt von der Entfernung zwischen ihnen und in der Richtung
der Verbindungslinie wirkt — aber sonst eine ganz beliebige Funktion der Ent-
fernung ist — dass dann die Kraft ein Potential hat. Denn es sei die Kraft, X
= 90), wo
pumy(x—2a Q3) -G—:)
und e eine ganz beliebige Funktion ist. Dann ist
Xd y—0b Z—C
X 0) Ya) Zug.
also
or or = or
X) T= Zmv0-
Setzt man nun U = — f'a(r)dr, so ist
dU
7, 7-90,
also
dU or aU or dU or
also
oU ou ou
KS ve Ze 5,
Das Potential dieser Kraft ist also U — — fe(r)dr. Solche Kräfte, die in
der Verbindungslinie zwischen zwei Punkten wirken und deren Grôsse nur von
der Entfernung abhängen, nennt man Centralkräfte. Centralkräfte aller
Art haben also ein Potential.
Das oben definirte Potential, welches für die allgemeine Attraktion und die
magnetischen und elektrischen Kräfte gilt, nennt man speciell das NEWTON'sche
Potential.
Man kann für das Potential noch eine andere Definition geben. Wenn
eine Kraft X einen Punkt verschiebt um die Strecke ds, welche mit der Richtung
der Kraft den Winkel e bildet, so ist die Elementararbeit ö4, welche die
Kraft leistet, definirt durch
644 — K d$ cos c.
Wenn nun die Winkel, welche Æ mit drei Axen der xyz bildet, mit «fy,
diejenigen, welche Zs mit den 3 Axen bildet, mit Zzzz bezeichnet werden, so ist
cos £& == COS & COS | +- cos B cos m + cos {cos n.