372 Mechanik des Himmels. 34. 35. 
A) Hal), el) al) 0 — + parle) for 
Sa RL LE -X—|—] -2o06--——l—]-2c sl Y—V ei, ag t) 
p ie, 0X9 Jo 0a No", 0 QV pe"), a3 V gn], 
wo Kürze halber Q = M + x, — M' — x,' gesetzt ist. Es ist aber 
IV 1 48. (1) Ak 
p^ ait En? oa p^ o. DANKE LE 
da in dem Ausdrucke für X überall @ auftritt, wo in dem Ausdrucke für p der 
Werth a(1 + c) yorkommt. Man hat daher, wenn 
1 
  
  
  
mi = BPs x Q; Q=M+ my — M — ny! (11) 
entwickelt ist, sodass die Coéfficienten B nur von den a, @' abhängig sind: 
(x) 
1 9 B? 0 B, 
pee Y B9cosx Q --ac 93 22 cos X Q + a'd = dar COS xQ— 
x 
¥ * 228 92 pO? (12) 
— (=) x BPsinx Q-+1a%? 258 COS Q+ad'ss D 15755 cosxQ+... 
x x x 
Da für s — 1, 2, . . . die Faktoren C, €2 .. . . auftreten, so wird man sich 
bei diesen Ausdrücken auf die Mitnahme einer geringeren Anzahl von Gliedern 
beschränken, während für s= 0 eine weitergehende Entwickelung nöthig ist. 
35. Entwickelung der negativen ungeraden Potenzen von AZ. 
Diese Entwickelung ist gemäss 88. (5) an die Entwickelung der Potenzen des 
Ausdruckes 
p? = 1 — 2acos Q + a? (1) 
dun + oder ami rcl 
a a 
gebunden. Die direkte Lósung dieser Aufgabe ist bereits durch die Formeln 
18 (9), (10) gegeben. Da es sich nur um die negativen ungeraden Potenzen 
handelt, so sei 2 — — 25s — 1 
i m p9.9pO0,;0.-2P?9,5,90-L9PO9,530.-.... (2) 
poc -(]nye a (e Ee i (ES 254-8 eJ ae d 
  
  
  
  
  
  
2 4 2 4 6 
  
  
  
  
1 1 2 1254-3 
pO». (2) TI: ) ( ut = ) a: + 
2s+1 2s +3 25+—1 25+3 25+ 5 (3) 
9 4 5 1 6 qo ck... 
2s+1 2s +3 25+1 25+1 25+83 25+5 
a. pa 2 4 
Fe. (E 2803) a ue (BR) (3 1 2) wt + 
Die Bestimmung aller Coéfficienten durch diese Reihen würde ziemlich 
weitläufig, und es ist daher zweckmässiger nur einzelne (im Allgemeinen zwei, 
und hin und wieder einen zur Probe) direkt zu rechnen und aus diesen die 
anderen abzuleiten!). Setzt man KU X®, so kann man schreiben?) 
pr = D Reina, (4) 
!) S. LAPLACE, »Mécanique céleste I. Bd.«, LEVERRIER, »Ann. der Pariser Sternwarte, II. Bd.«; 
HANSEN, »Entwickelung der negativen ungeraden Potenzen u. s. w.« Die recurrente Entwickelung 
der P wurde zuerst von LAGRANGE und LAPLACE gewählt, während EULER noch bedeutende 
Schwierigkeiten bei der Bestimmung dieser Coëfficienten für die wechselseitigen Störungen von 
2. und b oder 9 und $ fand. 
?) Die Basis der natürlichen Logarithmen gleich e, und die imaginäre Einheit /—1=i 
gesetzt.