Mechanik des Himmels. 78,
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und ebenso wird
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folglich
gi e (fy m fm + fan? + 47... J)(go H- £471 2- £40? 2- ...)
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Asymptotische Gleichheiten kónnem daher addirt, subtrabirt, multiplicirt, di-
vidirt werden wie gewóhnliche Gleichungen. In den Stórungsausdrücken treten
immer derartige Reihen auf, in denen 7 die Bedeutung einer störenden Masse
hat: die analytischen Ausdrücke werden streng richtig, wenn die stórenden
Massen verschwinden, und die nach Potenzen der Massen entwickelten Aus-
drücke kónnen daher als Entwickelungen gewisser unbekannter Functionen be-
trachtet werden, welchen sie asymptotisch gleichen.
Betrachtet man das System von z linearen Differentialgleichungen
dx; ;
uo 4-99 i=12....% (7)
wo X; eindeutige Functionen von Z x4, x4... x, und einem Parameter m
sind!) deren Lósungen x; — 0,;(/) seien; lassen sich z Reihen
Si = fi, 0 27 fi 1m + fiom? +... (8)
über deren Convergenz oder Divergenz keinerlei beschránkende Annahmen ge-
. . d. z .
macht werden, derart finden, dass die Differenz sx durch z;7 theilbar
wird, wenn
SB = fio e fiim fiom? +... [fipm? (8a)
an Stelle der x; substituirt werden, d. h. also, dass
dx;
— — X; c 5,
= 2) Em
ist, so wird das System der S; als eine »formelle Lósung des Systems der
Differentialgleichungen (7)« angesehen, und dann ist?)
0;(4, m) = S, (9)
d. h. die Reihen ,S; sind asymptotische Darstellungen der strengen Lósungen der
Differentialgleichungen (7).
In den Stórungsrechnungen treten die stórenden Massen als kleine Parameter
7 auf. Gelingt es daher, für die Differentialgleichungen Integrale anzugeben,
welche in der (£ + l)ten Náherung sámmtliche Glieder berücksichtigen, die
von der ten Ordnung der störenden Massen sind, wozu also gehört, dass die
elementären Glieder, bei denen die störenden Massen im Nenner auftreten, eben-
falls entsprechende Berücksichtigung finden, so werden die erhaltenen Lösungen
1) Dieses System von linearen Differentialgleichungen enthält die allgemeinste Form, denn
die Differentialgleichungen höherer Ordnung lassen sich durch die Substitution
dx, dy,
= — Xu 7 = 200004 (a)
auf die lineare Form bringen, indem die durch die Substitution entstandenen Gleichungen mit
den Gleichungen (7) ein lineares System der gegebenen Form liefern. ;
?) Eine Ausnahme findet nur statt in den singulüren Punkten der Funktionen A;.
Wai
AVL
trem
