la fonction d’autocorrélation . On pourra 
toujours centrer un processus en lui retranchant 
sa moyenne. C’est ce que nous ferons par la 
suite. 
2.2.Définition 2. 
: 2 
On dit que le processus X, eu (1,3) € 7 
A : 2 ya 
est un processus autorégressif sur Z s'il 
satisfait à une équation de récurrence de la 
forme : 
X = X d 1 X 6171 * e 71 (2) 
k=-m 1=-n 
Avec (k,1)#(0,0), m, n eZ et e, est une suite 
, 
de variables aléatoires indépendantes et de méme 
loi. 
2.3.Notion de causalité. (Whittle, 1954). 
La notion de causalité est basée sur la 
définition du passé, du présent et du futur. 
Pour tout point (i,j) on définit le passé 
relativement au point  (i,j), pour l'ordre 
lexicographique l'ensemble des points 
( (k,1) | k 2 i, 1:€ je; k 1, 79-15 9) 
et le futur l'ensemble de points 
  
ÍÉX4kl).] AK -d. OO Skid cé v1 3 
Ceci est illustré par la figure 2. 
2a 0 4-2 J1 j jti J42 .. 
x u = = = = m 
1-2 m m" assi = u = u 
1-1 m a’ N = [| = u 
i m. " m [*[ > . « 
i » » “futur = 2» 
i+2 m = u m au m u 
u a u m = = n 
fig.2:définition du passé, du présent et du 
futur. 
3. APPLICATIONS AUX TRAITEMENTS NUMERIQUES D' IMAGES 
3.1.Analyse de la texture d'une image. 
L'estimation des images par les processus 
Spatiaux  autoregréssifs nous conduit d’un 
système de pixels à un système de zones 
homogènes délimitées par des contours. Nous 
allons, d’abord, exposer la théorie de 
l'estimation des paramètres des différents 
modèles par les diverses méthodes. 
- k-m 1=n 
Xi = y L d ai den fi * ei j (3) 
k=-m 1=-n 5 
Avec (k,1)#(0,0), m, n € 7. 
k=m 1=n 
steals iy ve (4) 
i,] kz-m 1co k,1 i-m, j-1 1,j 
Avec {k.1)={0,0), m. ne Z: 
Et X, , est le niveau de luminance du pixel de 
, 
j 
coordonnées (i,j), m et n sont des entiers 
positifs et (e, 7 1-z1,...,M et j=i,...,N) est 
368 
une suite de variables aléatoires indépendantes 
et de même loi de distribution N(0, c... 
L'équation (3) représente un modéle 
autorégressif bilatéral (A.R.B) et (4) un modéle 
autorégressif unilatéral (A.R.U). Notre but est 
d'estimer les d. E la variance de ¢. et 
> 1, 
l'étude des résidus. 
3.2.Les modéles autorégressifs unilatéraux : 
Le modéle autorégressif unilatéral, au sens de 
Whittle, | dépendant des quatre voisins est 
représenté par la figure 3 et par l'équation de 
réccurence (5). 
=2 54-1 ET 442 ... 
i=l 
iti 
  
fig.3 
X = a X. +x X Too X 
1i 1 1,j-1 2 i,j+1 3 i-1,j 
+ a X + € (5) 
4 i-1,j-1 1,3 
Avec a =d , a =d , « -d et «a =d . 
1 %0,1 2 1,-1 3774.0 4 1,1 
Où les c, i=1,2,3,4, sont les paramètres à 
estimer, avec les contraintes : 
4 
us < 1 
(6) 
Var(X, ) = Var(e ) 9g 
> J 1,] 
On suppose que e. est non corrélé avec le 
1 
, 
passé du processus X. 
1, 
Nous allons utiliser l'ordre lexicographique 
pour transformer une suite de variables à deux 
indices en une suite équivalente, mais à un seul 
indice. 
3.2.1.Transformation du processus sur zz en 
un processus sur Z. 
Cette procédure consiste à transformer un 
processus sur Z en un processus sur Z. On 
utilise, ensuite, les propriétés des moindres 
carrés utilisés dans les séries chronologiques. 
Pour cela on fait la transformation suivante : 
NN ——————> N 
(i, j) —————————5» k - (i-1)N + j 
N étant le nombre de colonnes de l’image 
étudiée. En gardant les mêmes notations, on a le 
modèle : 
u (7) 
X =a X + «a X ta X + 
k !: k 4 k-N-1 k 
a X + 
-1 2 k-N«1 3 k-N 
Le modèle (7) est un modèle autorégressif 
d’ordre (N+1) On peut 1’écrire sous forme 
matricielle : 
t 
X = "8 -7 + (8) 
k k-1 k 
où te est la transposée de © et t la 
k-1 
transposée de e. 1} 
  
Dans 
que 1 
I(8) 
On 
blanc 
carré 
trouv 
I(e) 
Dar 
ensen 
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On pc 
maxim 
sont 
En 
estin